Кубики та Ймовірність: Теорема Центральної граничної похибки за столами з гратами

Одна кубик: рівномірний розподіл

Один чесний шестигранний кубик є найпростішою можливою випадковою змінною: кожне обличчя від 1 до 6 випадає з однаковим шансом 1/6, що дає рівномірний дискретний розподіл. Його математичне сподівання – це середнє значення всіх шести граней, (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 – значення, яке кубик ніколи не може показати, корисна нагадка про те, що математичне сподівання – це середнє значення в довгостроковій перспективі, а не конкретний результат. Його дисперсія відповідає стандартній формулі для рівномірного розподілу дискретних величин на {1,...,n}, (n²−1)/12, яка для n=6 дає (36-1)/12 = 35/12 ≈ 2,9167, отже, стандартне відхилення одного кубика становить приблизно 1,708. Все, що далі – форма сум двох кубиків, колоїдний розподіл десяти кубиків, шанси, які казино вписує у таблицю для гри в крапсу – будується на основі лише цього одного рівного розподілу з шістьма значеннями, доданого до себе повторено.

Два куби: від рівномірного до трикутника

Сума двох кубиків не є рівномірною, хоча кожен кубик сам по собі є рівномірним. Є 36 однаково ймовірних упорядкованих результатів (6×6), але вони стискаються лише до 11 можливих сум, від 2 до 12, і ці суми не представлені однаково: сума 7 може бути отримана шістьма різними способами — 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1 — тоді як сума 2 або 12 може бути отримана лише одним способом кожен (1-1 або 6-6). Побудова кількості способів утворення кожної суми дає ідеальний трикутник, що лінійно зростає від 1 на екстремумах до 6 в центрі та знову спадає вниз, що є точно тим, що виходить при згортці двох однакових рівномірних розподілів. Згортка бере розповсюдження і повторно його розширює, і результат завжди більш гладкий і загострений в центрі, ніж вхідні дані. Цей трикутна форма є превью — коли додаються більше кубиків, дискретна згортка продовжує пом'якшувати кути та переміщує масу до центру, а приблизно через n=10 кубиків розподіл суми вже напрочуд схожий на косинусоїдальну форму, хоча джерельний розподіл — один кубик — настільки відрізняється від косинусоїдної кривої, як тільки може бути розподіл.

counts = [1,1,1,1,1,1]         // one die: ways to roll 1..6

function convolve(a, b):
    result = array of zeros, length len(a)+len(b)-1
    for i in 0..len(a)-1:
        for j in 0..len(b)-1:
            result[i+j] += a[i] * b[j]
    return result

sums = [1]                     // generating function "1" (n=0 dice)
for k in 1..n:
    sums = convolve(sums, counts)

// sums[s] now holds the EXACT number of ways to roll total s
// e.g. for n=2: sums = [1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]  (sums 2..12)

Центральна теорема обмеженості застосовується

Формальне пояснення того, що сума постійно набуває вигляд гомонадного розподілу, зумовлене Центральною теоремою обмеженості: для n незалежних кубиків стандартизована сума (сума – nμ)/√(nσ²) збігається за розподілом до стандартного нормального розподілу зі зростанням n, незалежно від форми базового розподілу, який підсумовується – однорідний, дискретний і обмежений сам по собі кубик. Отже, сума n кубиків має середнє значення 3.5n та дисперсію 35n/12, а отже, її стандартне відхилення дорівнює √(35n/12); для n=10 це середнє значення 35 і стандартне відхилення близько 5,4, а фактичний дискретний розподіл досяжних сум, накладений у вигляді гістограми, вже візуально не розрізняється від гаусового з цими параметрами. Це саме те теорема, що лежить в основі того, чому так багато вимірювальних похибок, біологічних ознак і середні значення вибірок агреговані приблизно нормально на практиці – це, по суті, сума багатьох невеликих незалежних внесків, точно як сума кубиків.

Закон великих чисел, маржа казино та математика гри

Легко сплутати Закон великих чисел із Центральною теоремою обмеженості, але вони відповідають на різні питання. Закон великих чисел стверджує, що середнє значення n кидків кісток – не сума – збігається до справжнього математичного сподівання 3.5 зі збільшенням n; це твердження стосується того, куди в кінцевому підсумку сходяться середні значення. Центральна теорема обмеженості нічого не говорить про те, де; вона описує форму та швидкість коливань навколо цього середнього значення, повідомляючи, що ці коливання приблизно гауссові та зменшуються відносно зі збільшенням 1/√n. Казино покладається на обидва: Закон великих чисел гарантує, що в достатній кількості раундів середній результат казино збігається з його теоретичною перевагою, а CLT-подібна дисперсія будь-якої окремої сесії – це те, що дозволяє йому визначати вимоги до капіталу та структуру виплат. Найбільш очевидним прикладом є ставка на суму кидків кісток: очікувана вартість ставки обчислюється як виплата × P(сума) − ставка × P(не сума), і оскільки 7 є найбільш ймовірною сумою з двох кидків кісток (6/36, трохи менше 1/6), ігри «кроуп» будуються таким чином, щоб ставка на лінії проходу вигравала негайно при першому кидку, а вся інша структура гри – числа-цілі, ставки на шанси – випливає з однієї й тієї ж таблиці ймовірностей 36 результатів.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.