Kostki i Prawdopodobieństwo: Twierdzenie Graniczne przy Grażdach

Jedna kość: równomierny rozkład

Jednolite, uczciwe kostka sześciostronna jest najprostszym możliwym zmiennym losowym: każda z sześciu ścian – od 1 do 6 – pojawia się z prawdopodobieństwem 1/6, co daje równomierny rozkład dyskretny. Jej średnia to średnia ze wszystkich sześciu ścian, czyli (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 – wartość, jakiej kostka sama w sobie nigdy nie pokaże, przypominająca, że oczekiwana wartość to średnia z długotrwałego okresu, a nie możliwy wynik. Wariancja obliczana jest według standardowej formuły dla równomiernego rozkładu dyskretnego na zbiorze {1,...,n}, czyli (n²−1)/12, co dla n=6 daje (36-1)/12 = 35/12 ≈ 2,9167, a odchylenie standardowe jednej kostki wynosi około 1,708. Wszystko, co następuje dalej – kształt sum dwóch kostek, krzywa symetryczna dla dziesięciu kostek, szanse, które kasyno wprowadza do planszy do gry w kości w hazardzie – opiera się wyłącznie na tym jednym płaskim rozkładzie o sześciu wartościach dodawanym do siebie wielokrotnie.

Dwa kości: od równomiernego do trójkątnego

Suma dwóch kości nie jest równomierna, nawet jeśli każda pojedyncza kość jest równomierzna. Istnieje 36 równie prawdopodobnych uporządkowanych wyników (6×6), ale te skłaczają do tylko 11 możliwych sum, od 2 do 12, a te sumy nie są równie dobrze reprezentowane: suma 7 może być uzyskana na sześć różnych sposobów – 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1 – podczas gdy suma 2 lub 12 może być uzyskana tylko jednym sposobem każdy (1-1 lub 6-6). Wykresianie liczby sposobów uzyskania każdej sumy generuje idealny trójkąt, rosnący liniowo od 1 na ekstremach do 6 w centrum i z powrotem, co dokładnie odpowiada konwolucji dwóch identycznych rozkładów równomiernych: konwolucja przyjmuje rozłożenie i ponownie je rozszerza, a wynik jest zawsze bardziej gładki i bardziej wypukły w środku niż wejścia. Ten kształt trójkąta jest zapowiedzią – gdy dodaje się więcej kości, dyskretna konwolucja wygładza rogi i przesuwa masę w kierunku centrum, a około n=10 kości rozkład sumy już na tyle przekonująco przypomina kształt dzwonu, choć źródłowy rozkład, pojedyncza kość, jest o ile można się domyślić, tak daleko od krzywej dzwonu, jak tylko rozkład może być.

counts = [1,1,1,1,1,1]         // one die: ways to roll 1..6

function convolve(a, b):
    result = array of zeros, length len(a)+len(b)-1
    for i in 0..len(a)-1:
        for j in 0..len(b)-1:
            result[i+j] += a[i] * b[j]
    return result

sums = [1]                     // generating function "1" (n=0 dice)
for k in 1..n:
    sums = convolve(sums, counts)

// sums[s] now holds the EXACT number of ways to roll total s
// e.g. for n=2: sums = [1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]  (sums 2..12)

Centralny Twierdzenie o Rozkładzie Normalnym

Formalny powód, dla którego suma stale przypomina krzywą Gausa, to twierdzenie o rozkładzie normalnym: dla n niezależnych kostek do gry, ustandaryzowana suma ((suma - nμ)/√(nσ²)) zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego standardowego, niezależnie od kształtu rozkładu pierwotnego, który jest sumowany – czy to rozkład równomierny, dyskretny, czy też ograniczony, jak pojedyncza kostka. Suma n kostek ma średnią równą 3,5n i wariancję równą 35n/12, więc jej odchylenie standardowe wynosi √(35n/12). Dla n=10 to średnia wynosi 35, a odchylenie standardowe około 5,4, a rzeczywisty dyskretny rozkład możliwych wyników, przedstawiony jako histogram, jest już wizualnie niezróżnicowany od rozkładu Gaussa z tymi parametrami. Jest to to samo twierdzenie, które leży u podstaw tego, dlaczego tak wiele błędów pomiarowych, cech biologicznych i średnie próbkowe są w praktyce zbliżone do rozkładu normalnego – są one, w zasadzie, sumami wielu małych niezależnych przyczyn, dokładnie jak suma kostek do gry.

Prawo Wielkich Liczb, margines domu i matematyka za nią

Łatwo je mylić zbiór wielkich liczb z twierdzeniem centralnym o dużych liczbach, ale odpowiadają one na różne pytania. Zbiór wielkich liczb mówi, że średnia z n rzutów kości – a nie suma – zbliża się do prawdziwego średniego poziomu 3,5 w miarę wzrostu n; jest to stwierdzenie o tym, gdzie średnia kończy się gromadzić. Twierdzenie centralne o dużych liczbach niczego nie mówi o tym, gdzie; opisuje ono kształt i tempo fluktuacji wokół tej średniej, informując, że te fluktuacje są w przybliżeniu normalne (gausowskie) i maleją w stosunku do wielkości w miarę wzrostu 1/√n. Kasyno opiera się na obu: zbiór wielkich liczb gwarantuje, że średni wynik domu w wystarczającej liczbie rund zbliża się do teoretycznego marginesu, a CLT-kształtowa wariancja wokół dowolnej sesji jest tym, co pozwala mu określić wymagania dotyczące kapitału i struktury wypłat. Najbardziej oczywistym przykładem jest zakład na sumę rzutów kości: oczekiwana wartość zakładu to wyplata × P(suma) − stawka × P(nie suma), a ponieważ 7 jest najbardziej prawdopodobną sumą dwóch kości (6/36, nieco poniżej 1/6), gry w żargonie crps są budowane tak, aby zakład na linii pasywej był skoncentrowany na wygranej natychmiast w pierwszym rzucie, a wszystkie inne struktury w grze – liczby punktowe, zakłady na pólnę – pochodzą z tej samej tabeli prawdopodobieństwa 36 wyników.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.