Кислотно-лужна рівновага

Правило, яке може обчислювати кожен і довести ніхто

Візьміть будь-яке додатне ціле число n. Якщо воно парне, поділіть його на два. Якщо воно непарне, помножте його на три та додайте одиницю. Повторюйте. Колатзська зведена теорема — запропонована Лоттаром Коллатом у 1937 році, також відома як проблема 3n+1 або послідовність «сніжинка» — стверджує, що незалежно від початкового числа, цей процес завжди зрештою досягає 1:

n → n/2 якщо n парне n → 3n + 1 якщо n непарне Почніть з 27 і послідовність піднімається до 9232, перш ніж коли-небудь повернутися вниз, відскакуючи вгору та вниз, як сніжинка, що потрапила у хмаробуду — саме тому це називається «сніжинкою» — і нарешті приземляючись на повторюваний хвіст 4, 2, 1. Кожне ціле число, яке було протестовано, аж до приблизно 2⁶⁸, зрештою досягає 1. Ніхто не знайшов контрприкладу і ніхто не довів, що його немає.

n → n/2         if n is even
n → 3n + 1      if n is odd

Чому це обманює

Правило поєднує множення та ділення таким чином, що чинить опір звичайним інструментам теорії чисел. Непарні кроки (3n+1) завжди дають парне число, тому можна об'єднати два правила в один "прискорений" крок для непарних n: (3n+1)/2. Після багатьох ітерацій послідовність поводиться в середньому так, ніби множиться приблизно на 3/4 на кожну пару кроків — що свідчить про тенденцію до зниження до 1 — але "в середньому" не є доказом, оскільки будь-яка окрема послідовність потенційно може суперечити середній величині протягом необмеженого часу, або сходитися до нескінченності, або потрапляти в деякий інший повторюваний цикл, який ніколи не досягає 1. Паулу Ердошу відомо, що математика не була готова до цієї проблеми; вона залишається відкритою й сьогодні.

Визначення часу зупинки та пікової величини

Два показники описують шлях хаотичної послідовності: час зупинки, кількість кроків, необхідних для досягнення 1, і пікова величина, найбільше число, яке досягає послідовність перед спадом. Жоден з цих показників не є монотонним у відношенні до початкового числа – мале початкове значення може мати дивно довгий час зупинки або величезну пікову величину, і немає відомого аналітичного способу передбачити будь-який із них без простого виконання послідовності. Число 27, яке є невеликим, потребує 111 кроків і досягає піку близько 9 232; багато більших початкових чисел завершуються набагато меншою кількістю кроків.

Ця непередбачуваність від такого простого правила є важливою причиною, чому послідовність виглядає так вражаюче при її відстеженні та математично стійка до спроб вирішення.

Дерево, що розгортається назад

Запустіть карту у зворотному напрямку, і кожне число, яке досягає 1, утворює дерево, вкорінене в 1, яке розгалужується назовні: кожен вузол n має дитину 2n завжди (відміняючи крок ділення навполам), та друге дитя (n-1)/3, коли це значення є додатним непарним числом і не ділиться на 3 (точно відмінює 3n+1, коли це застосовно). Візуалізація цього зворотного дерева є одним із стандартних способів досліджувати цю кон’юнктуру, оскільки доказ того, що дерево зрештою містить кожне додатне ціле число, був би доказом самої кон’юнктури — і, на даний момент, ніхто не знайшов ні цього доказу, ні числа, якого немає в дереві.

Що насправді було доведено

Повна загальність залишається відкритою, але досягнуто значного прогресу. Кожне початкове значення до приблизно 2⁶⁸ було вичерпно перевірене розподіленими обчислювальними проектами та досягло 1. Теріс Тао у 2019 році довів, що «майже всі» орбіти Коллага (в точному відношенні щільності) досягають майже обмежених значень – це важливий частковий результат, хоча він не досягає повного доказу для будь-якого цілого числа. Припущення також узагальнюється способами, які доведені хибними: варіанти правила 3n+1 з різними множниками можна показати, що вони мають початкові числа, які розходяться або потрапляють у цикли, відмінні від 4-2-1, що є нагадуванням про те, що істинність вихідного припущення є конкретним, делікатним фактом про число 3, а не загальною рисою цього типу правила.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Collatz Conjecture і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.