Хвилі у ванні: Округлі хвильові фронти, розповсюдження та інтерференція

Збудження та рівняння хвилі

Доторкніться до поверхні нерухомої води в одній точці, і збудження поширюється назовні у вигляді кола, кероване тим самим 2D рівнянням хвилі, яке описує мембрани барабанів, сейсмічні хвилі та звук у площині:

∂²u/∂t² = c² * ( ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² )
                (c = wave speed on the surface)

Чому фронт хвилі залишається ідеально колом

У спокійній ванні швидкість хвилі *c* однакова у всіх напрямках, тому будь-яка початкова збурення, що виділяються в один момент з однієї точки, досягають усіх точок на однаковій швидкості – коло є просто множиною точок, рівновіддалених від початку подорожі та пройшлих за однаковий час. Це також точно відповідає загальному твердженню Гюйгенса: кожна точка, до якої досягає фронт хвилі, стає новим джерелом мікроскопічних другорядної хвиль, а їх сукупний зсув і є тим, що несе фронт далі, коло за колом.

Моделювання на сітці

Розділена версія рівняння хвилі оновлює висоту поверхні в кожній точці сітки, використовуючи її два попередні значення та сусідні точки, така ж методика кінцевих різниць, що використовується для моделювання електромагнітних хвиль за методом FDTD та сейсмічних симуляцій:

u_new[i,j] = 2*u[i,j] - u_old[i,j] + (c*dt/dx)^2 * ( u[i+1,j]+u[i-1,j]+u[i,j+1]+u[i,j-1] - 4*u[i,j] ) Як і в методі FDTD, цей метод стабільний лише нижче певного ліміту Корняна щодо кроку часу та відстані між точками сітки та швидкості хвилі; якщо його перевищити, хвильові розмивання перетворюються на чисельний шум замість того, щоб зникати поступово.

u_new[i,j] = 2*u[i,j] - u_old[i,j]
           + (c*dt/dx)² * ( u[i+1,j]+u[i-1,j]+u[i,j+1]+u[i,j-1] - 4*u[i,j] )

Чому хвиля стихає по мірі розповсюдження

Навіть без жодного тертя, амплітуда кругової хвилі зменшується під час подорожі, просто тому що одна й та ж початкова енергія розподіляється над дедалі більшим колом. Для 2D кругової хвилі амплітуда падає приблизно як 1/√r, де r – радіус, який вже пройшов – геометричне розповсюдження, а не гасіння. Реальне воду в ванні також втрачає енергію через в’язкість та поверхневе натягнення, що додає справжнє гасіння поверх геометричного спаду, тому хвилі у ванні зникають ще швидше, ніж передбачує ідеальна неамортизована формула.

Змішування хвиль при зустрічі

Якщо двічі постукати по воді в різних точках, ви отримаєте два розгортання, які перетинаються. Оскільки рівняння хвилі є лінійним, висота поверхні, де вони перетинаються, просто дорівнює сумі окремих відхилень кожної хвилі — принципу суперпозиції. Де зустрічається гребля з греблею, вода піднімається вище, ніж будь-яка хвиля поодинці (конструктивне інтерференція); де гребля зустрічається з низькою точкою, вони частково або повністю приглушуються (деструктивна інтерференція). Після того, як фронти проходять через перехресну область, обидві хвилі продовжують рухатися повністю не вплинуті зіткненням, точно так само, ніби іншої хвилі не було.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bath Waves і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.