Rundzące się Fale Wewnętrzne: Falowanie w Wannie |… |…

Zakłócenie i równanie falowe

Dotknij powierzchni nieruchomego jeziora w jednym punkcie, a zakłócenie rozprzestrzeni się na zewnątrz jako okrąg, zgodnie z tym samym równaniem fal 2D, które opisuje membrany bębna, fale sejsmiczne i dźwięk w płaszczyźnie:

∂²u/∂t² = c² * ( ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² )
                (c = wave speed on the surface)

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Dlaczego front fali pozostaje idealnie okrągły

W spokojnej kąpieli prędkość fali c jest taka sama we wszystkich kierunkach, więc zaburzenie uwolnione w jednym momencie z jednego punktu dociera do każdego kierunku w tym samym tempie – okrąg to po prostu zbiór punktów znajdujących się na tej samej odległości przebytej w tym samym czasie. Jest to dokładnie to, co mówi ogólnie zasada Huygenса: każdy punkt, który front fali dotyka, staje się nowym źródłem małych wtórnych fal i ich suma (płaszczyzna) przenosi dalej front fali, okrąg za oknem.

Symulacja na siatce

Dyskretna wersja równania fal aktualizuje wysokość powierzchni w każdym punkcie siatki, wykorzystując jej dwa poprzednie wartości oraz sąsiadujące punkty, podobnie jak używana rodzina różnic skończonych dla fal elektromagnetycznych FDTD i symulacji sejsmicznych:

u_nowe[i,j] = 2*u[i,j] - u_stare[i,j] + (c*dt/dx)^2 * ( u[i+1,j]+u[i-1,j]+u[i,j+1]+u[i,j-1] - 4*u[i,j] ) Podobnie jak w przypadku FDTD, ten schemat jest stabilny tylko poniżej pewnego limitu Couranta dotyczącego czasu kroku w stosunku do rozdzielczości siatki i prędkości fali; przekroczenie tego limitu spowoduje, że fale eksplodują w cyfrowy szum zamiast upadać elegancko.

u_new[i,j] = 2*u[i,j] - u_old[i,j]
           + (c*dt/dx)² * ( u[i+1,j]+u[i-1,j]+u[i,j+1]+u[i,j-1] - 4*u[i,j] )

Dlaczego fala okrąglana zanika podczas rozprzestrzeniania się

Nawet przy braku tarcia, amplituda fali okrągłej maleje w miarę jej podróży, ponieważ ta sama energia początkowa jest rozpraszana na coraz większym obwodzie: dla 2D fali okrągłej amplituda spada w przybliżeniu jak 1/√r, gdzie r oznacza już przebyty promień – to rozprzestrzenianie się geometryczne, a nie tłumienie. Woda w basenie również traci energię z powodu lepkości i napięcia powierzchniowego, co dodaje prawdziwe tłumienie na dodatek do geometrycznego spadku, więc fale w rzeczywistym basenie szybko wygasać niż przewiduje idealne równanie bez tłumienia.

Interferencja między dwoma falami

Uderz dwa razy w wodę w różnych miejscach i otrzymasz dwa rozszerzające się okręgi, które przecinają się. Ponieważ równanie fali jest liniowe, wysokość powierzchni tam, gdzie się nakładają, jest po prostu sumą indywidualnych przesunięć – zgodnie z zasadą superpozycji. Gdzie dwie czapy fal współpasują, woda podnosi się wyżej niż w przypadku każdej z fal osobno (interferencja konstruktywna); gdzie czapa spotyka się z dolną częścią fali, częściowo lub całkowicie je anuluje (interferencja destrukcyjna). Po przejściu fal przez obszar nakładania się, obie kontynuują podróż bez zakłóceń spowodowanych spotkaniem, dokładnie tak, jakby drugiej fali nie było.

Po przejściu fal przez obszar nakładania się, obie kontynuują podróż bez zakłóceń spowodowanych spotkaniem, dokładnie tak, jakby drugiej fali nie było.

Frequently asked questions

Dlaczego wysokość fali ulega zmniejszeniu nawet przed uderzeniem w ściany wanny?

Wynika to z rozprzestrzeniania się geometrycznego: taka sama ilość energii uwolniona na początkowym zaburzeniu musi być rozproszona po rosnącej powierzchni okręgu, a dla fal dwuwymiarowych okrągłych amplituda spada w przybliżeniu proporcjonalnie do odwrotności pierwiastka z odległości przebytej, niezależnie od tarcia lub tłumienia.

Co dokładnie dzieje się, gdy dwie fale uderzają o siebie?

Ponieważ równanie falowe jest liniowe, przesunięcie wody w każdym punkcie nakładania się fal jest po prostu sumą tego, co każda falka generowałaby tam osobno, więc spotkanie grzbietów z grzbietami się dodaje, a spotkanie grzbietów z dolinami częściowo się wycielają. Po przejściu dwóch fal przez siebie każda kontynuuje podróż dokładnie tak, jakby to spotkanie nigdy nie miało miejsca.

Czy używa się tej samej równania dla dźwięku lub światła?

Jest to ta sama rodzina, liniowe równanie drugiego rzędu, choć nie jest to identyczne równanie: dźwięk to fala ciśnieniowa w sprężystym medium, a światło obeys Maxwell's equations, podczas gdy prawdziwe fale powierzchni wody również obejmują grawitację i napięcie powierzchniowe w pełniejszym ujęciu niż tutaj zaimplementowane uproszczenie.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Bath Waves i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Bath Waves

Falowanie w Wannie: Rundzące się Fale Wewnętrzne, Rozprzestrzenianie się i Interferencja