Рух Брауніана та рівняння Ланґевєна

Коефіцієнт дифузії Ейнштейна

У 1905 році Ейнштейн пов’язав коефіцієнт дифузії безпосередньо з властивостями молекул через рівняння Ейнштейна-Смолюховського-Стокса, описуючи зв'язок між видимим тремтінням частинки та невидимими зіткненнями з молекулами:

D = k_B·T / γ (γ = коефіцієнт опору) Для сфери радіусом r (коефіцієнт Стокса): γ = 6πηr → D = k_B·T / (6πηr) Приклад: частинка розміром 1 мкм у воді за температури 25°C → D ≈ 4.9×10⁻¹³ м²/с → за 1 секунду типове зміщення √(2Dt) ≈ 1 мкм Це передбачене та перевірене відношення між видимим тремтінням і невидимою молекулярною рухом, яке було підтверджено Жоном Перріна експериментально незабаром після цього – надавши першу безпосередню доказ того, що атоми та молекули є фізично реальними, а не просто зручним інструментом обліку, що вирішило дебати, які розділяли фізиків десятиліттями.

D = k_B·T / γ           (γ = drag coefficient)
For a sphere of radius r (Stokes drag): γ = 6πηr
→ D = k_B·T / (6πηr)

Example: 1 μm particle in water at 25°C → D ≈ 4.9×10⁻¹³ m²/s
→ in 1 second, typical displacement √(2Dt) ≈ 1 μm

Ланжеве рівняння

Лангевін (1908) сформулював ньютонове друге право руху для частинки Броунівського руху, явно поєднуючи звичайне тертя з випадковим флуктуаційним імпульсом:

m · dv/dt = −γ·v + F_stochastic(t) ⟨F(t)⟩ = 0, ⟨F(t)·F(t')⟩ = 2γk_BT·δ(t−t') (теорема про флуктуації та розсіювання) Перенасичений режим (інерція незначна, переважно колоїдна біологія): γ·dx/dt = F_external(x) + √(2γk_BT)·ξ(t) Випадковий імпульс і тертя походять від одного й того ж молекулярного зіткнення — це теорема про флуктуації та розсіювання, тому гаряча рідина одночасно хаотично збуджує частинку та чинить опір її руху з точністю до необхідної для підтримки системи в тепловому рівновазі сили.

m · dv/dt = −γ·v + F_stochastic(t)

⟨F(t)⟩ = 0,  ⟨F(t)·F(t')⟩ = 2γk_BT·δ(t−t')  (fluctuation-dissipation)

Overdamped limit (inertia negligible, most colloidal biology):
γ·dx/dt = F_external(x) + √(2γk_BT)·ξ(t)

Середньоквадратичне зміщення: читання середовища

Для вільного дифузійного процесу середньоквадратичне зміщення зростає лінійно з часовим лагом — MSD(τ) = 2d·D·τ, де d – просторова розмірність – що проявляється як пряма лінія зі нахилом 1 на логарифмічно-логарифмічній діаграмі. Відхилення від цієї прямої лінії вказують на середовище частинки: піддифузія (нахил менший за 1) свідчить про переповнене середовище, таке як клітинна мембрана або цитоплазма, а наддифузія (нахил більший за 1) сигналізує про активний, спрямований транспорт замість чисто випадкового руху. Експерименти відстеження окремих частинок використовують саме такий підпис для вимірювання мобільності рецепторів у живих клітинних мембранах.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.