Побіжна Куля: Що насправді вимірює коефіцієнт відбиття

Коефіцієнт відбиття

Якщо скинути м’яч, він не повертається вгору з такою ж висотою, з якою впав — частина кінетичної енергії завжди втрачається при ударі, перетворюючись на тепло та звук, коли м'яч тимчасово деформується та відскакує. Коефіцієнт відбиття (КВ), зазвичай позначається як *e*, кількісно визначає, яка частина швидкості зберігається після відбиття: це відношення швидкості м’яча безпосередньо після удару до його швидкості безпосередньо перед ударом, при відбитті від твердої, нерухомої поверхні.

e = v_після / v_до // 0 = повністю непружне, 1 = повністю пружне h_n = h_0 * e^(2n) // висота після n відбиттях v_після = e * sqrt(2 * g * h_0) // швидкість при виході з n-го відбиття Оскільки висота залежить від квадрату швидкості (від принципу збереження енергії, mgh = 1/2 mv²), а швидкість сама втрачає коефіцієнт *e* на кожному відбитті, висота повернення зменшується у багато разів, помножений на *e*². М'яч з КВ = 0.9 не втрачає 10% своєї висоти при кожному відбитті; він втрачає приблизно 19% (1 − 0.9²), і це швидко накопичується: після десяти відбиттях м’яч з КВ = 0.9 втратив понад 85% початкової висоти.

e = v_after / v_before                  // 0 = perfectly inelastic, 1 = perfectly elastic
h_n = h_0 * e^(2n)                       // height after n bounces
v_after = e * sqrt(2 * g * h_0)          // speed leaving the nth bounce

Де йде енергія

Під час частки секунди, коли м’яч контактує з землею, він деформується – стискається як пружина – і потім повертається, а відсоток еластичної енергії, що реально повертається замість втрати, повністю залежить від внутрішніх властивостей матеріалу м’яча та поверхні. Ідеально еластичний удар (e = 1) повернув би кожню джоуль; справжні м’ячі завжди падають коротше, оскільки деформований гума, пінопласт або шкіра не є повністю зворотним – частина енергії втрачається через внутрішній тертя між полімерними ланцюгами, що ковзають один об одного (віоластичний демпфування), інша – на звук (чутний "стук" або "бряк" від відскоку є буквально акустичною енергією, що покидає систему), і ще частина – тепло, яке виділяється через це саме внутрішнє тертя.

Порівняння реальних куль

Супербола – це синтетична гума, відома як полібутадієн, яка спеціально розроблена для надвисокого коефіцієнта відбиття (COR), часто вище 0,9, близького до еластичного межі будь-якої практичної гумової суміші. Баскетбол має COR близько 0,75–0,8, налаштований за допомогою правил для передбачувального відскоку під час дриблінга. Футбольний м’яч з покриттям ворсом та гумою має коефіцієнт відбиття приблизно 0,7–0,75. М'яч для американського футболу, більший і розроблений більше для контрольованого кочення та передачі, має нижчий COR, близько 0,6–0,7. Щільна сталева куля, що відскакує від твердої сталі або каменю, може бути досить еластичною – вище 0,9 – оскільки дуже мало енергії удару перетворюється на постійне деформування, тоді як та сама сталева куля, впавши на пісок або траву, втрачає майже всю свою енергію, деформуючи землю, що дає ефективний COR близький до нуля, незважаючи на те, що м'яч майже не деформувався.

superball (polybutadiene)   e ~ 0.85-0.95
basketball                  e ~ 0.75-0.80
tennis ball                 e ~ 0.70-0.75
soccer ball                 e ~ 0.60-0.70
steel-on-steel               e ~ 0.90-0.95
steel-on-sand                e ~ 0.10-0.30  (energy lost deforming the ground, not the ball)

Це не тільки м'яч – матеріал поверхні теж має значення

COR дійсно є властивістю пари матеріалів, що контактують, а не лише м’ячу – один і той самий м’яч, кинутий на бетон, дерево, траву та пісок, покаже чотири різні висоти відскоку, оскільки енергія може поглинатися будь-якою поверхнею, деформуючись. Саме тому спортивні організації не лише визначають конструкцію м’яча, але й встановлюють стандартні тестові поверхні під час розробки офіційних правил відскоку, і баскетбольний м'яч, який передбачувано відскакує на паркеті, поводиться зовсім інакше, якщо його кинути на траву чи бруд.

Чому м’яч ніколи не зовсім припиняє гудіти

Оскільки кожна висота відскоку зменшується геометрично (в зенит² кожного разу), але ніяк математично не досягає точно нуля, ідеалізований м’ячик технічно здійснює нескінченну кількість відскоків за кінцевий час — класичний парадокс «м'яча-відскоку», який вирішується тим, що й також геометрично зменшується час між відскоками, тому нескінченна послідовність відскоків утворює кінцеву тривалість, після якої м’яч, по суті, перебуває в стані практичної спокою на землі. Реальні м’ячі припиняють чути гул від відскоків значно раніше цього ліміту, просто тому що дуже маленькі відскоки нижче кількох міліметрів поглинаються опором повітря та поверхневими нерівностями.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bouncing Ball і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.