Виток і Загалом: Дохідність та Тривалість Облігацій

Ціна облігації як поточна вартість майбутніх грошових потоків

Ціна облігації – це просто поточна вартість усіх грошей, які вона виплачуватиме вам у майбутньому. Кожен купонний платіж та остаточний викуп номіналу (також відомий як номінальна вартість) дисконтуються назад до сьогоднішнього дня за допомогою вимог ринку, або дисконтованого прибутку до погашення (YTM). Формула підсумовує поточну вартість кожного купонного платіжу плюс поточну вартість номіналу: Ціна дорівнює сумі, для кожного періоду t, купонного платіжу поділеному на (1 плюс прибуток) піднесеному до степеня t, плюс номінальну вартість, поділену на (1 плюс прибуток) піднесеному до степеня загальної кількості періодів. Ключовий момент полягає в тому, що купонні платіжі та номінал самі по собі ніколи не змінюються після випуску облігації – вони встановлені договором. Змінюється лише дисконтна ставка, яка використовується для оцінки цих платежів, і ця дисконтна ставка визначається загальним ринком для подібних цінних паперів. Якщо нові облігації пропонують вищий прибуток, ніж купонний відсоток вашої існуючої облігації, ваша облігація стає менш привабливою за її початковою ціною, тому її ринкова ціна повинна впасти доти, поки її ефективний прибуток не відповідатиме новій ринковій ставці. Цей рамування на основі поточної вартості використовується точно так само, як і для оцінки будь-якого потоку майбутніх грошових потоків, від іпотечних кредитів до корпоративних проектів, і це математична основа для всього іншого аналізу облігацій.

Обернена залежність між ціною та прибутком

Оскільки ціна облігації розраховується шляхом дисконтування фіксованих грошових потоків за ринковою ставкою дохідності, ціна та прибуток математично пов’язані між собою у зворотному відношенні: коли ставка дисконтування в знаменнику збільшується, зменшується теперішня вартість усіх майбутніх платежів, тому падає ціна. Навпаки, коли ставки знижуються, ті самі фіксовані грошові потоки стають відносно більш цінними порівняно з тим, що пропонують нові облігації, тому зростає ціна. Ця взаємозв’язність не є ринковим дивацтвом чи психологічним шаблоном — це прямий наслідок дисконтування. Уяви це інтуїтивно: якщо ви володієте облігацією з фіксованим купоном 4%, і раптово випускаються нові облігації такого ж ризику, що платять 5%, ніхто не заплатить вам повну вартість за вашу облігацію з нижчим доходом. Її ціна повинна впасти, поки її загальна прибутковість (доход від купонів плюс зростання вартості до номінальної суми на термін погашення) відповідає 5%, яке зараз доступне десь ще. Зворотне відбувається, коли ставки падають: ваша облігація з 4% стає більш привабливою, ніж нові облігації з 3%, тому інвестори підвищують її ціну вище за номінальну вартість. Ця обернена взаємозв’язність між ціною та прибутком є найважливішим поняттям у сфері фіксованих прибутків, і воно пояснює, чому фонди облігацій можуть втрачати вартість, незважаючи на те, що кожна окрема облігація зрештою повертає заявлену основну суму.

Тривалість: Вимірювання чутливості до процентних ставок

Тривалість вимірює, наскільки чутливим є ціна облігації до змін у відсоткових ставках, і вона має дві тісно пов’язані форми. Тривалість Маклея – це середній час (в роках), за який можна отримати всі грошові потоки облігації, де вага кожного платежу визначається часткою його загальної поточної вартості від загальної вартості облігації. Облігація з більшими, ранішими грошовими потоками (високі купони) має коротшу тривалість, ніж облігація з тією ж датою погашення, але меншими купонами, оскільки більша її вартість приходить раніше. Тривалість Маклея нульової купонної облігації дорівнює її терміну погашення точно, оскільки вся вартість надходить в один фінальний платіж. Змінена тривалість коригує тривалість Маклея, ділячи її на (1 плюс відсоткова ставка за період), перетворюючи її на прямий показник чутливості: приблизний відсоток зміни ціни при зміні відсоткової ставки на 1 відсотковий пункт (100 базисних пунктів). Відношення виражається як: відсоток зміни ціни приблизно дорівнює від’ємній зміненій тривалості, помноженій на зміну відсоткової ставки. Це робить тривалість надзвичайно корисним скороченням – облігація з зміненою тривалістю 8 втратить приблизно 8% своєї вартості, якщо відсоткові ставки зростуть на 1%, і отримає приблизно 8%, якщо відсоткові ставки впадуть на 1%. Довші терміни погашення, нижчі купони та нижчі відсоткові ставки підвищують тривалість, що означає більшу волатильність ціни для заданого руху ставок.

Узгінність: Другочерговий Коригування

Термін дії передбачає пряму залежність ціна-дохідність, але насправді вона викривлена — зокрема, є кубовидною, опускаючись нижче від дотичної лінії, яку малює термін дії. Це означає, що лінійне оцінювання терміну дії завжди перебільшує зниження ціни при зростанні доходів і недооцінює збільшення ціни при падінні доходів. Узгінність захоплює цю кривизну як другий порядок, подібно до того, як прискорення уточнює оцінку швидкості лише за швидкістю. Більш точна оцінка становить: відсоток зміни ціни приблизно дорівнює від’ємному помноженню модифікованого терміну дії на зміну доходу плюс половина помножена на узгінність, помножену на квадрат зміненого доходу. Оскільки термін узгінності додається незалежно від того, зростають чи падають доходи (оскільки зміна доходу є квадратною, вона завжди позитивна), узгінність завжди працює на користь власника облігацій — вона пом’якшує втрати при зростанні ставок і підсилює прибутки при падінні ставок. Облігації з більшою узгінністю (зазвичай ті, що мають довший термін погашення, нижчі купони та більш розсіяні потоки грошових коштів) є більш бажаними, за інших рівних умов, оскільки вони забезпечують більш сприятливу асиметрію між прибутком і збитками ціни.

Розроблений приклад: Переоцінка облігації з терміном погашення 10 років

Розглянемо облігацію із номінальною вартістю $1000, річною купонною ставкою 4% ($40 на рік) та терміном погашення 10 років. Якщо ринкова ставка становить точно 4%, то ціна облігації дорівнює її номінальній вартості: $1000, оскільки купонна ставка відповідає необхідному прибутку. Тепер припустимо, що ринкова ставка зростає до 5%. Переоцінка облігації означає дисконтування всіх одинадцяти грошових потоків (десять купонів по $40 та номінальна вартість у розмірі $1000) за ставкою 5%: теперішня вартість купонного потоку становить $308,87 і теперішня вартість номіналу – $613,91, що дає нову ціну приблизно $922,78 – зниження на 7,72%. Як добре тривалість прогнозує це? Тривалість Macaulay цієї облігації за початкової ставки 4% становить приблизно 8,44 роки, що дає модифіковану тривалість 8,44 поділеної на 1,04, або близько 8,11. Приблизна тривалістю оцінює зміну ціни як від’ємне 8,11 помножене на 0,01 (зростання ринкової ставки на 1%), що прогнозує зниження приблизно на 8,11%, або ціна близько $918,90. Фактичне зниження на 7,72% менше, ніж прогноз тривалості – точно так само, як передбачає теорія викривленості, оскільки справжня крива ціни-ставки виступає над прямою лінійною оцінкою, пом’якшуючи втрати. Додавання терміну викривленості значно наближає оцінку до справжньої ціни $922,78, що пояснює, чому професійні казначейства завжди використовують обидва показники разом, а не покладаються лише на тривалість.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bond Yield and Duration: Why Bond Prices Fall When Interest Rates Rise і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.