Блек-Шоллз: Оцінка опціонів з хеджуванням і Монте Карло

Значення опціону залежить від того, наскільки може коливатися ціна активоу

Опціон зобов’язання дає його власнику право, а не обов’язок, купити актив за фіксованою ціною страйк K до певної дати закінчення терміну дії. Його значення на дату закінчення терміну дії є простим max(S − K, 0) — це різниця, якщо актив закінчився вище за ціну страйку, інакше – без вартісті. Справжня складність полягає у визначенні його вартості сьогодні, до того, як хтось дізнається, куди фактично піде актив. Фішер Блек, Майрон Шолс та Роберт Мёртон вирішили цю проблему в 1973 році, вважаючи ціну активу, яка слідує за геометричним броунівським рухом, і будуючи портфель, який точно компенсує ризик опціону.

Їхній ключовий внесок – дельта-хеджування: якщо ви тримаєте опціон і одночасно продаєте в маєтку Δ акцій базового активу, обраного таким чином, щоб сумарна вартість портфеля не змінювалася (першого порядку), коли ціна акцій коливається, портфель стає тимчасово безризиковим. Безризиковий портфель повинен приносити точний відсоток від безризикового джерела або існує арбітраж – і змушуючи цю умову діяти для вартості опціону як функції ціни та часу акцій, отримуємо частковий диференціальний рівняння:

∂V/∂t + ½σ²S²·∂²V/∂S² + rS·∂V/∂S − rV = 0 V = значення опціону S = ціна базового активу σ = волатильність r = відсоток безризикового кредиту формула для ціни зобов’язання: C = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2) d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T) d2 = d1 − σ√T N(·) = кумулятивна стандартна нормальна розподілена функція На диво, очікувана реальна прибутковість опціону не з’являється в цій формулі — лише відсоток безризикового кредиту та волатильність. Це принцип оцінки в нейтральному відносно ризику: оскільки хедж усуває будь-який напрямковий ризик, ціна однакова незалежно від того, чи є ринок загалом оптимістичним або песимістичним щодо акцій.

∂V/∂t + ½σ²S²·∂²V/∂S² + rS·∂V/∂S − rV = 0

V = option value        S = underlying asset price
σ = volatility           r = risk-free interest rate

closed-form call price:
C = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2)
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)      d2 = d1 − σ√T
N(·) = cumulative standard normal distribution

Монте-Карло: оцінювання будь-чого, що можна змоделювати

Модель Блэка-Шоулза має аналітичне рішення лише для найпростіших європейських опціонів. Для будь-яких опціонів, залежних від шляху – тобто опціонів, які виплачують прибуток на основі середньої ціни протягом терміну дії контракту, або опціонів, які можна виконати достроково – часто немає чистої формули, тому практикуючі особисто обирають моделювання методом Монте-Карло: моделюють тисячі випадкових шляхів зміни цін за допомогою геометричного броунівського руху під ринковою ціною, обчислюють виплату опціону на кожному шляху, дисконтують кожну виплату до сьогодні з урахуванням безризикової ставки та усереднюють. Закон великих чисел гарантує, що це середнє значення збігається зі справжньою ціною, а похибка зменшується пропорційно 1/√(кількість симуляцій) – повільне збіжнення, але повністю загальний: будь-яку виплату, яку можна закодувати, можна оцінити.

Греки: як реагує ціна

Трейдери рідко звертають увагу лише на саму ціну – вони цікавляться тим, як вона змінюється, коли рухається ринок, що і кількізується за допомогою греків опціонів. Дельта (∂V/∂S) – це коефіцієнт хеджування само по собі – на скільки зміниться ціна опціону за кожний долар руху базового активу, а також розмір торгу, необхідного для підтримки хеджування. Гамма (∂²V/∂S²) вимірює, наскільки швидко змінюється дельта сама по собі, тому велика гамма означає, що хедж потрібно постійно перебалансувати. Вега (∂V/∂σ) відображає чутливість до волатильності, Тета (∂V/∂t) – щоденна втрата вартості опціону з плином часу до дати закінчення терміну дії, а Ро (∂V/∂r) вимірює чутливість до процентних ставок.

Умовна волатильність: читання власного прогнозу ринку

Єдиний вхід у формулу Блэка-Шольца, який не можна безпосередньо спостерігати, – це майбутня волатильність σ. Однак, оскільки опціони торгуються за реальними ринковими цінами, формулу можна запустити назад: вказати спостережувану ринкову ціну та розв’язати рівняння для σ, яке її відтворює – це і є умовна волатильність. Вона представляє собою консенсусний прогноз ринку щодо того, наскільки турбулентним буде базовий актив, а в практиці умовна волатильність змінюється залежно від страйку (відомий викривлення волатильності – волатильний «усміх»), що само по собі є свідченням того, що реальний світ відрізняється від припущення Блэка-Шольца про постійну волатильність.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Option Pricing і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.