Біноміальний розподіл та Гальтонів шаб

Бернуллі: фундамент

Бернуллівський експеримент – це будь-який випадковий експеримент з рівно двома можливими результатами, зазвичай позначеними як «успіх» і «невдача», де успіх відбувається з фіксованим ймовірністю p, а невдача – з ймовірністю 1 − p. Одноразовий кидок монети, один влучання у ціль, чи вихід з ладу окремого компонента протягом року, чи покупка товару одним відвідувачем веб-сайту – всі вони є бернуллівськими експериментами, якщо визначено, що таке «успіх»,

Біноміальний розподіл описує загальну кількість успіхів, X, коли повторюється бернуллівський експеримент n разів незалежно, з однаковою ймовірністю успіху p на кожному етапі. У цій конструкції є два ключових моменти: незалежність (результат одного етапу не впливає на результат іншого) і постійна p (ймовірність успіху не змінюється між етапами). Обидва ці припущення дозволяють множити ймовірності разом безперервно; порушення хоча б однієї з них – наприклад, відбірка без заміни з невеликої кінцевої популяції – призводить до пов’язаної, але окремої гіпергеометричної розподілу.

Біноміальне розподільне значення

Ймовірність спостереження рівно k успіхів у n спробах задається

P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n−k

де C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) – це біноміальний коефіцієнт, який рахує кількість різних упорядчень успіхів та невдач, що призводять до рівно k успіхів серед n спроб. Термін pk(1−p)n−k є ймовірністю будь-якої конкретної послідовності з k успіхами; множення на C(n, k) враховує той факт, що ці k успіхів могли припасти до будь-якого з C(n, k) можливих положень серед n спроб. Це точно такий самий комбінаторський логіка, яка зустрічається в трикутнику Паскаля, де кожен рядок перераховує біноміальні коефіцієнти для заданого n.

Середнє значення біноміального розподілу дорівнює E[X] = np, а дисперсія – Var(X) = np(1 − p), отже стандартне відхилення дорівнює √(np(1−p)). Обидва формули мають інтуїтивно зрозуміле значення на межі: коли p близьке до 0 або 1, результати майже детерміновані, і дисперсія сходиться до нуля; коли p = 0,5, дисперсія максимізована для заданого n, що відображає максимальну невизначеність щодо кожної окремої спроби.

Гальтонова дошка: фізичне доведення

Гальтонова дошка (також відома як машина для бобів або квінкус), запатентована Френком Гальтоном у 1890-х роках, – це вертикальна дошка, що має ряди гвинтів, розташованих у трикутній сітці, з приймальними лотками внизу. Куля, кинута зверху, потрапляє в кожен гвинт і відскакує вліво або вправо з приблизно рівною ймовірністю, потім падає в наступний ряд і повторює процес. Після проходження n рядів гвинтів остаточне положення кулі в лотці визначається повністю тим, скільки разів вона відскакувала вправо протилежно ліву – що є точно сумою n незалежних біноміальних експериментів з p = 0.5.

Киньте сотні куль через одну й ту ж дошку, і висота накопичених бобів у кожному лотці майже точно відтворює біноміальне розподілення маси ймовірностей для n спроб та p = 0.5. Саме тому Гальтонова дошка є таким переконливим навчальним інструментом: вона не є симуляцією чи наближенням, намальованим на папері, а механічно генерує біноміальний розподіл, кулька за кулькою, перед вашими очима. Це також передбачає теорему центральної мери, оскільки зі збільшенням кількості рядів гвинтів (n) до великих значень, гладка, конічна форма купи бобів збігається з нормальним розподілом – безперервною граничною формою біноміального розподілу.

Як n і p формують розподіл

Коли p = 0,5, біноміальний розподіл є абсолютно симетричним навколо його середнього значення np, незалежно від n, оскільки успіх і невдача відіграють взаємозамінні ролі. Коли p відхиляється від 0,5 в один із крайніх випадків, розподіл стає спотвореним: правостороннім спотворенням для малого p (більшість спроб закінчуються невдалою, з рідкісними кластерами успіхів), і лівостороннім спотворенням для великого p. Збільшення n при фіксованому p робить розподіл прогресивніше симетричним та косимим, навіть для спотвореного p, завдяки тому ж ефекту центральної межі, який видно на Гальтоновій скрині — корисне правило застосування полягає в тому, що нормальне наближення до біноміального розподілу стає прийнятним, коли як np ≥ 5, так і n(1−p) ≥ 5.

Коли використовувати біноміальний розподіл

Біноміальна модель застосовується, коли ви підраховуєте кількість успіхів у фіксованій, відомій кількості незалежних ідентичних спроб: кількість очок при 20 кидках монети, кількість дефектних предметів у партії з 100 обраних із заміною, кількість пацієнтів, які реагують на лікування з фіксованої вибірки (за умови постійної ймовірності відповіді між пацієнтами), або кількість закинутих кидків, здійснених з фіксованого числа спроб. Ця модель перестає працювати, коли кількість спроб сама по собі випадкова, коли спроби не є незалежними (наприклад, стрілець, чия впевненість і точність змінюються після вдалого або невдалого кидка), або коли ймовірність успіху справді варіюється від спроби до спроби — у останньому випадку зазвичай більш підходящим є розподіл Бета-Біноміальний або інша модель змішування. Визначення того, які з цих умов дійсно виконуються у вашому наборі даних, часто важливіше, ніж правильне обчислення C(n,k)

Часті запитання

Яка різниця між біноміальним і розподілом Пуассона?

Біноміальний розподіл підраховує успіхи протягом фіксованої, кінцевої кількості спроб *n*, кожна з ймовірністю успіху *p*. Розподіл Пуассона підраховує події, які відбуваються в фіксований проміжок часу або простору, без природного верхнього ліміту на кількість. Фактично, розподіл Пуассона виникає як граничний випадок біноміального при дуже великому *n* та зменшенні *p* до нуля, а їхній добуток *np* збігається до постійної швидкості λ.

Чому планка Гальтона наближається до нормального крива замість того, щоб залишатися видимій 'біноміальної форми'?

Вона одночасно виконує обидва завдання: купа куль є точним фізичним відображенням біноміального розподілу для цієї кількості рядів петель, а сам біноміальний розподіл все більше нагадує нормальну криву зі збільшенням кількості рядів, що є конкретним випадком теореми де Муавра-Лапласа, раннього попередника загальної теореми про центральне збудження.

Чи можна обчислити біноміальний коефіцієнт C(n, k) без використання факторіалів для великих *n*?

Так, використовуючи рекурентне співвідношення C(n, k) = C(n, k−1) · (n−k+1)/k, що дозволяє уникнути обчислення величезних факторіалів безпосередньо та є значно стабільнішим з погляду чисельних обчислень у програмному забезпеченні. Ця рекуресія також точно відповідає правилу, яке генерує рядок Паскаля ряд за рядком.

Що відбувається з дисперсією біноміального розподілу, якщо *p* = 0 або *p* = 1?

Дисперсія *np*(1−*p*) стає рівною нулю в обох випадках, що правильно відображає те, що результат більше не є випадковим: коли *p* = 0 кожен спроб зазнає невдачі та *X* завжди дорівнює 0, а коли *p* = 1 кожен спроб завершується успіхом і *X* завжди дорівнює *n*.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію the simulation