Rozkład Binominalny i Tablica Galtona

Wypróby Bernoulliego: fundament

Wyprób Bernoulliego to dowolny eksperyment losowy z dokładnie dwoma możliwymi wynikami, konwencjonalnie oznaczanymi „sukcesem” i „porażką”, w którym sukces występuje z ustaloną prawdopodobieństwem p, a porażka z prawdopodobieństwem 1 − p. Pojedyncze rzucenie monetą, strzały do celu, awaria pojedynczego elementu w ciągu roku, zakup pojedynczej wizyty na stronie internetowej przez użytkownika – wszystkie to wypróby Bernoulliego, o ile ustalamy, co stanowi „sukces”.

Rozkład binominalny opisuje całkowitą liczbę sukcesów, X, gdy powtarzamy wyprób Bernoulliego n razy niezależnie, z tym samym prawdopodobieństwem sukcesu p w każdym z tych prób. Dwa warunki są kluczowe w tej zdaniu: niezależność (wynik jednej próby nie wpływa na wynik innej) i stałe p (prawdopodobieństwo sukcesu nie ulega zmianie między próbami). Obie te założenia pozwalają na czystą mnożność prawdopodobieństw – naruszenie któregokolwiek z nich, np. poprzez próbkowanie bez zwracania z małej skończonej populacji, prowadzi do odmiennego rozkładu, a mianowicie rozkładu hipergeometrycznego.

Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu binominalnego

Prawdopodobieństwo obserwacji dokładnie k sukcesów w n próbach podawane jest jako

P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n−k

gdzie C(n, k) = n! / (k!(n−k)!), czyli współczynnik dwumianowy, liczący liczbę rozróżnialnych uporządkowań sukcesów i niepowodzeń, które dają dokładnie k sukcesów spośród n prób. Termin pk(1−p)n−k to prawdopodobieństwo dowolnej jednej konkretnej sekwencji z k sukcesami; mnożąc go przez C(n, k) uwzględniamy fakt, że te k sukcesów mogło pojawić się na dowolnej z C(n, k) możliwych pozycji spośród n prób. Jest to dokładnie ta sama logika kombinatoryczna, która występuje w trójkącie Pascala, gdzie każda linia zawiera współczynniki dwumianowe dla danego n.

Średnia rozkładu binominalnego wynosi E[X] = np, a jego wariancja Var(X) = np(1 − p), więc odchylenie standardowe wynosi √(np(1−p)). Obie te formuły mają intuicyjny sens na krańcach: gdy p jest bliskie 0 lub 1, wyniki są prawie deterministyczne i wariancja dąży do zera; gdy p = 0,5, wariancja jest maksymalna dla danego n, odzwierciedlając maksymalne niepewności co do każdej pojedynczej próby.

Tablica Galtona: fizyczny dowód

Tablica Galtona (zwana również maszyną na fasolę lub quincunx), wynaleziona przez Franciszeka Galtona w latach 90. XIX wieku, to pionowa deska z wnękami z pierścieniami ułożonymi w trójkątnym siatce, z pojemnikami zbierającymi umieszczonymi na dole. Kulka upuszczona z góry uderza w każdy pierścień i odbija się do lewej lub prawej strony z przybliżoną równą prawdopodobieństwem, a następnie spada do następnej rzędu i powtarza proces. Po przejściu przez n rzędów pierścieni pozycja końcowego pojemnika kuli jest całkowicie określona liczbą razy, w którym uderzyła ona o prawą stronę w porównaniu z lewą stroną — co dokładnie odpowiada sumie n niezależnych prób Bernoulliego z p = 0,5.

Wyrzuć setki kul przez tę samą tablicę i wysokość zebranych kulek w każdym pojemniku niemal dokładnie śledzi funkcję masy prawdopodobieństwa binominalnego dla n prób i p = 0,5. Dlatego też tablica Galtona jest tak przekonującym narzędziem dydaktycznym: nie jest to symulacja ani przybliżenie narysowane na papierze, a rozkład binominalny generowany mechanicznie, kulka po kuli, przed twoimi oczami. Przewiduje również twierdzenie graniczne Średnia Wartość, ponieważ wraz ze wzrostem liczby rzędów pierścieni n, kształt zbieranych kulek staje się coraz bardziej gładki i dzwonkowo-kształtny, a jego obrys zbiega się ku rozkładowi normalnemu — ciągłej kształtnej granicy rozkładu binominalnego.

Jak n i p kształtują rozkład

Gdy p = 0,5, rozkład dwumianowy jest idealnie symetryczny wokół jego średniej np, niezależnie od n, ponieważ sukces i porażka pełnią wzajemnie zastępcze role. W miarę jak p oddala się od 0,5 w kierunku jednego z ekstremów, rozkład staje się skośny: prawo-skośny dla małego p (większość prób kończy się niepowodzeniem, z okazjonalnymi skupiskami sukcesów) i lewo-skośny dla dużego p. Zwiększanie n przy zachowaniu stałej wartości p sprawia, że rozkład staje się stopniowo bardziej symetryczny i przypomina kształt dzwonu, nawet dla skośnego p, ze względu na ten sam efekt centralnej granicy widoczny w tablicy Galtona – dobrym przybliżeniem jest to, że aproksymacja normalna do rozkładu dwumianowego staje się rozsądna, gdy zarówno np ≥ 5, jak i n(1−p) ≥ 5.

Kiedy użyć rozkładu binominalnego

Model binomalny stosuje się wtedy, gdy liczymy sukcesy w stałej, znanej liczbie niezależnych, identycznych prób: liczbę orzełków w 20 rzutach monetą, liczbę wadliwych przedmiotów w partii 100 próbek pobranych z powrotami, liczbę pacjentów reagujących na leczenie z ustalonej grupy badanej (zakładając stałą prawdopodobieństwo odpowiedzi u pacjentów), lub liczbę rzutów wolnych wykonanych z ustalonego nakładu prób (przy założeniu stałej prawdopodobności trafień). Utrudnienia pojawiają się, gdy liczba prób jest sama w sobie losowa, gdy próby nie są niezależne (np. strzelec, którego pewność i dokładność zmieniają się po trafieniu lub brudzie), lub gdy prawdopodobieństwo sukcesu rzeczywiście różni się od próby do próby – w tym ostatnim przypadku zazwyczaj bardziej odpowiedni jest rozkład Beta-Binomal lub inny model mieszany. Rozpoznawanie, które z tych warunków rzeczywiście występuje w danym zbiorze danych, jest często ważniejsze niż poprawne obliczanie C(n,k).

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.