Bézier Кри́визни: Математика За Кожної Плавкої Лінії

Крива, побудована на параметрі, а не на функції

Звичайна функція y = f(x) не може описувати петлю або замкнену форму — вона не проходить вертикального тесту. Параметрична крива обходить цю проблему, виражаючи як x, так і y як функції незалежного параметра t, що змінюється від 0 до 1: P(t) = (x(t), y(t)). При t = 0 крива починається, при t = 1 вона закінчується, а значення між ними безперервно простежують шлях. Незалежно один від одного у 1960-х роках були винаході Паулем де Кастелюа в Citroën та П’єром Бèзером в Renault — обидва намагалися математично описувати кузовні панелі автомобілів — крива Бèзера стала стандартним способом визначення гладкої форми за допомогою кількох інтуїтивно зрозумілих контрольних точок.

Алгоритм Де Кастелюа

Де Кастелюа знайшов геометричний спосіб оцінки кривої без використання будь-якого явного полінома. При заданих контрольних точках P₀…Pₙ, повторно інтерполюйте кожну сусідню пару на параметрі t до тих пір, поки не залишиться лише одна точка — ця точка лежить на кривій. Для кубічної кривої (чотири контрольні точки) це потребує трьох рівнів інтерполяції:

Рівень 1: Q₀ = (1-t)P₀ + tP₁ Q₁ = (1-t)P₁ + tP₂ Q₂ = (1-t)P₂ + tP₃ Рівень 2: R₀ = (1-t)Q₀ + tQ₁ R₁ = (1-t)Q₁ + tQ₂ Рівень 3: B(t) = (1-t)R₀ + tR₁

Оскільки алгоритм використовує лише лінійну інтерполяцію, він є чисельно стійким навіть для кривих високого ступеня, на відміну від прямого поліноміального оцінювання, яке страждає від помилок приписування з ростом степеня. Він також надає можливість поділу на частини безкоштовно: обчислення при t = 0,5 ділить криву на дві половини, що зменшуються вдвічі, повторно використовуючи проміжні точки, що точно так само використовується рендерерами для згладжування кривих у лінійні відрізки — поділити до тих пір, поки сегмент не знаходиться на відстані менше одного пікселя від його хорди, потім зупинитись.

Level 1:  Q0=(1-t)P0+tP1   Q1=(1-t)P1+tP2   Q2=(1-t)P2+tP3
Level 2:  R0=(1-t)Q0+tQ1   R1=(1-t)Q1+tQ2
Level 3:  B(t)=(1-t)R0+tR1

Бернштейнові поліноми та явна формула

Ту ж криву можна записати як зважену суму точок керування, використовуючи бернштейнівські базисні поліноми: B(t) = Σ C(n,i)·tⁱ·(1−t)ⁿ⁻ⁱ·Pᵢ. Ці ваги утворюють суму 1 для кожного t (розділ цілісності), тому крива завжди є опуклою комбінацією точок керування і, відповідно, повністю лежить всередині їхньої опуклої оболонки – властивість, яку використовують рендерери для швидких тестів відсікання за допомогою прямокутних паралелепіпедів. Крива також проходить точно через P₀ та Pₙ, а зворотне t простежує ту ж форму назад.

Чому кубічні криві є основою

Кубічні Bézier'и – точна кількість чотирьох контрольних точок – використовуються майже скрізь: команда C у SVG, контури PostScript та TrueType/OpenType шрифтів, шляхи PDF та функція CSS cubic-bezier() timing — всі вони базуються на них. Дотижна на кожному кінці фіксується суміжним ручкою: B'(0) = 3(P₁−P₀) і B'(1) = 3(P₃−P₂), тому дизайнери перетягують P₁ та P₂ щоб керувати напрямком входу та виходу кривої. У cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0), кінцеві точки (0,0) і (1,1) фіксовані, вісь X нормалізована час, а вісь Y – прогрес анімації — форма кривої є функцією розгону.

Сплайни: плавне з’єднання сегментів

Одинакова високоступенева крива Безьє є незручною — зміна одного контрольного пункту змінює всю криву. Рішення полягає у ланцюгуванні кількох кубічних сегментів у сплайн, забезпечуючи безперервність на кожному з’єднанні: C⁰ означає, що сегменти просто діляться кінцем (можливим кутом); C¹ означає відповідність напрямку та швидкості дотичного (без «колі) за рахунок того, що ручки з обох боків з’єднання залишаються колінеарними та рівновіддаленими; C² також забезпечує відповідність кривизни, що робить відображення на кузові автомобіля або контурі шрифта справді плавним, а не просто пов'язаним. B-сплайни розширюють це поняття, розподіляючи контрольні точки через вектор вузлів за допомогою рекурсії Cox–de Boor, а NURBS додають вагу кожній точці, що дозволяє точно представляти кола та еліпси — неможливі для простої поліноміальної кривої Безьє. NURBS є стандартом геометрії, що лежить в основі форматів обміну CAD, таких як STEP і IGES.

Де фактично застосовуються математичні обчислення

Шрифти TrueType зберігають контури символів у вигляді квадратичних Bézier; PostScript та OpenType використовують кубічні – окреслений символ може містити 10-30 сегментів, растровані з роздільною здатністю нижче пікселя кожного разу, коли текст малюється на екрані. Програмне забезпечення для анімації зберігає рух за ключовими кадрами як кубічні сплайни в часі, а ручки забезпечують ефект плавної зміни швидкості (slow-in/slow-out easing); ігрові движки використовують еквівалентну форму Hermite для траєкторій камер та руху персонажів вздовж рельсів. У CAD автомобільні панелі та лопатки турбін моделюються як поверхні NURBS – добуток тензорів кривих NURBS у двох напрямках, з контролем точності виробництва за допомогою кривизни κ = |B′×B″|/|B′|³, де B′ - перший похідний, а B″ - другий. Роботи-апарати та автономні транспортні засоби планують плавну траєкторію таким же чином: кубічні або пентагонні сплайни через контрольні точки, які мінімізують jerk – третю похідну від положення, щоб суглоби та пасажири не зазнавали різких прискорень.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.