Принцип Бернуї: Торгівля тиском за швидкістю

Збереження енергії вздовж лінійної траєкторії

Рівняння Бернуї – це просто теорема про збереження роботи та енергії, застосована до переміщувальної рідини, що відстежується вздовж однієї лінійної траєкторії в стабільному, незміненому за густиною та без тертя потоці. Підсумуйте енергію тиску, кінетичну та потенційну гравітаційну енергії на одиницю об'єму, і сума залишається постійною, коли рідина рухається:

P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = константа // вздовж лінійної траєкторії P₁ + 1/2*ρ*v₁² = P₂ + 1/2*ρ*v₂² // горизонтальний потік, h₁ = h₂

Live demo · Потік прискорюється через звуження Вентурі ● LIVE

Це рівняння по суті обмінює тиск на швидкість: де рідина прискорюється, її тиск повинен зменшитися, а де вона сповільнюється, тиск відновлюється. Легко помилково сприйняти як те, що швидкий потік просто має низький тиск у певному сенсі – правильне тлумачення полягає в тому, що тиск і швидкість є двома формами однієї збереженої енергетичної бюджету, і одна зменшується точно так само, як і інша зростає.

P + 1/2 * rho * v^2 + rho * g * h = constant   // along a streamline
P1 + 1/2*rho*v1^2 = P2 + 1/2*rho*v2^2           // horizontal flow, h1 = h2

Безперервність: чому вужча труба означає швидший потік

Рівняння Бернуї лише говорить вам, що відбувається з тиском, коли ви вже знаєте швидкість, і сама швидкість визначається окремим, простішим законом: збереження маси. Для незмінного (незмінного густини) рідини будь-який об’єм, який втікає в трубу за секунду, повинен витікати за ту ж секунду, тому об’ємний потік A·v однаковий у всіх точках труби:

A1 * v1 = A2 * v2 // рівняння безперервності, незмінного потоку У Вентурі-трубі – трубі з вузьким горлечком посередині – площа поперечного перерізу A різко зменшується в місці звуження, тому закон безперервності вимагає, щоб швидкість v різко зросла, щоб добуток залишався постійним. Рівняння Бернуї тоді вимагає, щоб тиск також різко знизився в цій самій точці. Манометр на горлечку Вентурі-труби показує нижче значення, ніж на широкому вході та виході, лише тому, що рідина повинна прискоритися, щоб пройти крізь неї, і цей тисковий спад є основою роботи Вентурі-діафрагми, карбюраторів та медичних та промислових пристроїв, які використовують звуження для затягування другої рідини з низьким тиском.

A1 * v1 = A2 * v2       // continuity equation, incompressible flow

Чому важливий саме рідина

Рівняння неперервності A1v1 = A2v2 є чисто геометричним і не залежить від того, яка рідина тече – вода, повітря, масло чи ртуть – всі вони при проходженні через однакову звужену ділянку прискорюються в одному співвідношенні. Щільність ρ з'являється лише через член тиску, 1/2·ρ·v². Для заданого зміни швидкості, більш щільна рідина, така як ртуть (ρ ≈ 13,534 кг/м³), створює значно більший тиск, ніж та сама зміна швидкості в повітрі (ρ ≈ 1.2 кг/м³) або воді (ρ ≈ 1000 кг/м³). Це приблизно пропорційно щільності, за інших рівних умов. Саме тому ртутні манометри можуть реєструвати невеликі відмінності тиску з дуже короткою колонкою, а для вимірювання тієї ж величини відмінності тиску в повітрі знадобиться недоцільно велике пристрій.

Де порушується ідеалізація

Рівняння Бернуї, як написано, припускає, що потік безмасовий (без внутрішнього тертя), незмінюваний щільністю та стабільний вздовж однієї поздовжньої лінії. Реальний потік у трубах втрачає енергію через тертя з стінок та внутрішнє турбулентність, тому тиск після звуження ніколи повністю не відновлюється до значення на протилежному березі – ефект, який інженери враховують за допомогою емпіричного коефіцієнта втрат. При швидкостях, що наближаються до значної частки швидкості звуку, повітря більше не може розглядатися як незмінюване щільністю та проста форма рівняння перестає діяти, тому для високошвидкісної аеродинаміки потрідна загальна (розрахункова) теорія. Для діапазону швидкостей, який охоплює симуляція – рідини та повільно рухливі гази в трубі – незмінювана форма є чудовим наближенням.

Щододенний принцип Бернуї

Однаковість між швидкістю та тиском пояснює, чому штору для душу роздуває всередину, коли вода тече (швидший повітряний потік у струмі, менший тиск, ніж у спокійному повітрі), чому крила літака створюють підйом, коли повітря змушено проходити різними шляхами над їх вигнутою верхньою поверхнею, чому обертається м’яч згибається в польоті (ефект Магнуса поєднує цю різницю тиску з обертанням), і чому стискання садового шланга змушує воду вилітати швидше – той самий баланс між пропускною спроможністю та тиском, який ви можете спостерігати безпосередньо в трубі Вентурі на цій сторінці.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bernoulli Principle і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.