Zasada Bernoulliego: Wymiana Ciśnienia za Prędkość

Zachowanie energii w strumieniu

Równanie Bernoulliego to nic innego jak zastosowany do płynu w ruchu aksjomat zachowania energii, śledzony po pojedynczym strumieniu w stanie ustalonym, bezwładnym i nieprzechodzącym. Suma energii ciśnieniowej, energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji na jednostkę objętości pozostaje stała podczas ruchu płynu:

P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = constancja // w strumieniu P1 + 1/2*ρ*v1^2 = P2 + 1/2*ρ*v2^2 // przepływ poziomy, h1 = h2

Równanie to zasadniczo wymianę energii z ciśnienia na energię kinetyczną: tam gdzie płyn przyspiesza, jego ciśnienie musi spaść, a tam gdzie spowalnia, ciśnienie odzyskuje. Jest łatwo je źle zrozumieć jako stwierdzenie, że szybki przepływ po prostu ma niskie ciśnienie w jakimkolwiek niezależnym sensie — prawidłowe czytanie jest takie, że ciśnienie i prędkość są dwoma formami tej samej zachowanej energii budżetu, a jedna spada dokładnie tak bardzo jak druga rośnie.

P + 1/2 * rho * v^2 + rho * g * h = constant   // along a streamline
P1 + 1/2*rho*v1^2 = P2 + 1/2*rho*v2^2           // horizontal flow, h1 = h2

Continuity: why a narrower pipe means faster flow

Bernoulli's equation only tells you what happens to pressure once you already know the speed, and the speed itself is fixed by a separate, even simpler law: conservation of mass. For an incompressible fluid, whatever volume flows into a pipe each second must flow out each second, so the volumetric flow rate A·v is the same everywhere along the pipe:

A1 * v1 = A2 * v2 // continuity equation, incompressible flow In a Venturi tube — a pipe with a narrow throat in the middle — the cross-sectional area A drops sharply at the constriction, so continuity demands the velocity v rises sharply to keep the product constant. Bernoulli then demands the pressure drop just as sharply at that same point. A pressure gauge at the throat of a Venturi tube reads lower than at the wide entrance and exit, purely because the fluid has to speed up to get through, and this pressure drop is the working principle of the Venturi flow meter, the carburettor, and medical and industrial devices that use a constriction to entrain a second fluid at low pressure.

A1 * v1 = A2 * v2       // continuity equation, incompressible flow

Dlaczego liczy się samo medium płynące

Równanie ciągłości A1v1 = A2v2 jest czysto geometryczne i nie zależy od tego, jakie medium przepływa – woda, powietrze, olej lub rtęć wszystkie przyspieszają o tę samą wartość przez to samo zwężenie. Gęstość rho pojawia się tylko w terminie ciśnienia, 1/2·rho·v². Dla danego zmiany prędkości, bardziej gęste medium takie jak rtęć (ρ ≈ 13,534 kg/m³) generuje znacznie większy spadek ciśnienia niż ta sama zmiana prędkości w powietrzu (ρ ≈ 1.2 kg/m³) lub wodzie (ρ ≈ 1,000 kg/m³) – przy czym jest to w przybliżeniu proporcjonalne do gęstości, wszystko inne czerne. Dlatego manometry rtencowe mogą rejestrować małe różnice ciśnień z bardzo krótkim słupkiem, podczas gdy pomiar tej samej różnicy ciśnień w powietrzu wymagałby niepraktycznie dużego urządzenia.

Gdzie ulega uproszczenie

Równanie Bernoulliego, takie jak je przedstawiono, zakłada, że przepływ jest bezśladowy (nie zawiera wewnętrznego tarcia), nieściśliwy i jednorodny wzdłuż pojedynczej linii strzału. Rzeczywiste przepływy w rurach tracą energię z powodu tarcia lepkości względem ścian oraz turbulencji wewnętrznych, dlatego ciśnienie poniżej zwężenia nigdy nie odzyskuje pełnej wartości z pomiaru przed zwężeniem – efekt, który inżynierowie uwzględniają przy użyciu empirycznego współczynnika strat. Przy prędkościach zbliżających się do znaczącej części prędkości dźwięku powietrze przestaje być traktowane jako nieściśliwe i uproszczona forma równania przestaje obowiązywać, dlatego aerodynamika o wysokich prędkościach potrzebuje ogólnej, uwzględniającej ściślitość, uogólnienia. W zakresie, który obejmuje symulację – ciecze i wolno płynące gazy w rurze – forma nieściśliwości jest doskonałym przybliżeniem.

Zasada Bernoulliego w życiu codziennym

Ta sama zasada wyboru pomiędzy prędkością a ciśnieniem wyjaśnia, dlaczego firanka prysznicowa w środku strumienia wody zapada się do góry (szybsze powietrze wewnątrz strumienia, niższe ciśnienie niż powietrze otoczenia), dlaczego skrzydło samolotu generuje podmuch, gdy powietrze jest zmuszone do przemieszczania się inaczej po jego zakrzywionej górnej powierzchni, dlaczego kręcąca się piłka łopatami przechodzi przez powietrze (efekt Magnusa łączy tę różnicę ciśnień z obrotem), i dlaczego ściskanie węża ogrodowego sprawia, że woda wystrzeli szybciej — ta sama zasada ciągłości i wyboru ciśnienia, którą możesz obserwować bezpośrednio w rurze Venturi na tej stronie.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Bernoulli Principle i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.