Аір’ї Диск: Чому Жодна Лінза Ніколи Не Зображає Ідеальну Точку

Ідеальна лінза все ще не може сфокусувати в точку

Обмацуйте лінзу з нульовими абераціями, поліруйте її бездоганно та направте на одну далеку зірку. Зображення, яке ви отримаєте, все ще не є точковим джерелом світла. Це яскраве центральне дископодібне утворення, оточене ледь помітним кільцем, а потім більш слабким кільцем – це патерн, який існує лише тому, що світло є хвилею, а лінза має кінцевий діаметр. Це – паттерн Арі, названий на честь Джорджа Біделла Ейрі, який вивів його в 1835 році, і його яскраве центральне дископодібне утворення називається диском Арі. Жодна кількість оптичної досконалості не зніме його; це жорстка межа, встановлена дифракцією, а не виробничою дефектністю.

Дифракція через круглий отвір

Будь-яка хвиля, що проходить через отвір, розходиться на краях – це дифракція, і вона застосовується до морських хвиль у роті гавані так само, як і до світла в діроці лінзи. Для кругового отвору діаметром D, освітленого плоскою хвилею довжини хвилі λ, розрахунок інтегралу Фраофгера (для далеко розташованих джерел) дає інтенсивний розподіл, що складається з першого-порядкового Бесселя J₁, а не простого синусоїдального співвідношення, яке отримують від однопрохідного прозорочного екрану.

I(θ) = I₀ · [ 2·J₁(x) / x ]²        where   x = (π·D/λ)·sin(θ)

J₁(x) = first-order Bessel function of the first kind
θ     = angle from the optical axis

Перший темний кільце та розмір диска

Інтенсивність спочатку падає до точно нуля на першому нулі J₁(x)/x, що відбувається при x = 3.8317. Підставляючи це значення назад, отримуємо піввісь (геометричний радіус) першого темного кільця Airy — відстань від центру до краю цього кільця:

sin(θ₁) ≈ θ₁ = 1.22 · λ / D (для малих кутів, θ₁ вимірюється в радіанах) Центральний диск містить приблизно 84% від загальної розсіяної енергії; перший яскравий кільце навколо нього – близько 7%, а кожне наступне кільце містить все менше та менше енергії. Зверніть увагу на два елементи в цій формулі: кутовий розмір розмиття зменшується зі збільшенням діафрагми D, і збільшується зі збільшенням довжини хвилі λ. Обидва ці фактори мають величезні практичні наслідки.

sin(θ₁) ≈ θ₁ = 1.22 · λ / D        (for small angles, θ₁ in radians)

Критерій Rayleigha

Оскільки кожне джерело випромінювання створює свій малюнок Airy, дві близькі під кутом точки джерела генерують перекривні малюнки, і на певній відстані око або датчик вже не може їх розрізнити. Лорд Rayleigh запропонував у 1879 році практичну, хоч і трохи заздалегідь визначену, межу: два джерела вважаються розрізненими, коли пік одного малюнка Airy припадає точно на перше затемнення другого.

θ_Rayleigh = 1.22 · λ / D (мінімальна вимірювана під кутом відстань) На цій точній відстані спостерігається невеликий спад приблизно на 26% між двома об'єднаними піками — помітний, але не драматичний, тому критерій Rayleigha є звичайною практикою, а не жорстким фізичним обмеженням. Існує більш суворий стандарт, запропонований Sparrow, де спад між піками повністю зникає; існує також більш м’який стандарт — межа Dawesa, емпіричне правило, яке історично було популярним серед візуальних астрономів для розділення подвійних зірок.

θ_Rayleigh = 1.22 · λ / D      (minimum resolvable angular separation)

Чому це встановлює реальні межі

Зв’язок 1.22·λ/D не є додаванням — це причина, чому астрономічні телескопи будуються з розмірами, які дозволяють інженерні та фінансові можливості (відбивач Хаббла довжиною 2,4 м у видимому діапазоні розрізняє приблизно 0,05 углових секунд, що майже відповідає межі дифракції), причина, чому зображення об'єктивів втрачають чіткість при зменшенні діафрагми до дуже малих розмірів, незважаючи на те, що глибина різкості покращується (дифракційне розмиття збільшується зі зменшенням діафрагми), і причина, чому оптична мікроскопія не може розрізняти структури, які значно менші за половину довжини хвилі світла, що використовується – саме тому існують електронна мікроскопія (з її набагато коротшою довжиною хвилі де Бройля) та розумні прийоми, такі як структурне освітлення та мікроскопія STED, щоб подолати класичний ліміт дифракції.

Обчислення закономірності

Чисельне відтворення закономірності Фур'є вимагає лише швидкої та точної оцінки J₁, що зазвичай виконується з допомогою раціонального полінома або асимптотичного наближення, а не розкладом у ряд, для досягнення швидкості.

function airyIntensity(theta, wavelength, aperture) {
  const x = (Math.PI * aperture / wavelength) * Math.sin(theta);
  if (Math.abs(x) < 1e-6) return 1;           // limit at x -> 0 is 1
  const j1 = besselJ1(x);                       // rational/asymptotic approx
  const term = 2 * j1 / x;
  return term * term;
}

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Airy Disk і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.