🗺️ Відображення Аносова — Котяча карта Арнольда
Котяча карта Арнольда — канонічний приклад дифеоморфізму Аносова — гіперболічного зберігаючого площу відображення на торі: (x′, y′) = (x + y, x + 2y) mod 1. Кожна точка є гіперболічною нерухомою/периодичною точкою: сусідні траєкторії розходяться експоненційно вздовж нестійкого многовиду і так само швидко збігаються вздовж стійкого многовиду. Розмістіть будь-яке зображення на торі: кожен крок перемішує його до удаваної випадковості. Але оскільки відображення є оборотним і тор має скінченну кількість цілочислових вузлів, будь-яке зображення точно повертається до початкового стану через скінченний період (зазвичай 1–200 кроків для N≤256).
Джерело зображення
Параметри відображення
Анімація
Статистика
[x′; y′] = [[1,1];[1,2]]·[x;y] mod 1
Загальний Аносов:
[x′; y′] = [[1,p];[q,pq+1]]·[x;y] mod 1
Власні числа:
λ = ½(tr ± √(tr²−4))
ln(λ₊) = показник Ляпунова
Гіперболічна динаміка та підкова
Дифеоморфізм Аносова є гіперболічним всюди — дотичний простір у кожній точці розбивається на стійкий (стискаючий) та нестійкий (розтягуючий) підпростори. Це надає динаміці структурної стійкості: малі збурення не змінюють якісного характеру поведінки. Котяча карта Арнольда тісно пов'язана з відображенням підкови Смейла — архетипом гіперболічного хаосу. Той факт, що хаотичне відображення може бути точно обернено (квантова рекурентність), робить його цінною моделлю в квантовій інформатиці: воно використовувалось для демонстрації квантового хаосу та декогеренції на квантових комп'ютерах (Жоржо і Шепелянський, 2001).