📈 Procesy stochastyczne

O tej symulacji

Ten symulator rysuje przykładowe trajektorie procesu Wienera, W(t) — ciągłego w czasie błądzenia losowego, którego przyrosty są niezależne i mają rozkład normalny o wariancji równej upływowi czasu. Pozwala też przełączyć się na dwa modele pochodne: powracający do średniej proces Ornsteina-Uhlenbecka oraz geometryczny ruch Browna, czyli stochastyczne równanie różniczkowe stojące za wzorem Blacka-Scholesa do wyceny opcji. Trajektorie są generowane numerycznie schematem Eulera-Maruyamy — standardowym sposobem całkowania stochastycznego równania różniczkowego na komputerze.

Najczęściej zadawane pytania

Najczęściej zadawane pytania

• Czym jest proces Wienera?
  Proces Wienera (nazywany też standardowym ruchem Browna) to ciągły w czasie proces stochastyczny W(t) o niezależnych przyrostach z rozkładu normalnego: W(t)−W(s) ~ N(0, t−s). Jest to matematyczna formalizacja losowego drgania zaobserwowanego przez botanika Roberta Browna w 1827 roku, którą rygorystyczną formę nadał później Norbert Wiener w latach 20. XX wieku.
• Czym jest metoda Eulera-Maruyamy?
  Metoda Eulera-Maruyamy to stochastyczny odpowiednik metody Eulera dla ODE. Dla SDE dX = f(X,t)dt + g(X,t)dW przybliża ona X(t+dt) ≈ X(t) + f(X,t)⋅dt + g(X,t)⋅√dt⋅N(0,1). Symulator wykorzystuje tę dyskretyzację z małym krokiem czasowym dt, aby generować realistyczne przykładowe trajektorie.
• Jak geometryczny ruch Browna wiąże się z modelem Blacka-Scholesa?
  GBM to stochastyczne równanie różniczkowe dS = μS⋅dt + σS⋅dW, gdzie μ to dryf (oczekiwana stopa zwrotu), a σ to zmienność. Wzór Blacka-Scholesa do wyceny opcji zakłada, że cena instrumentu bazowego podąża za GBM. Ponieważ GBM zawsze pozostaje dodatni i generuje ceny o rozkładzie log-normalnym, jest to kanoniczny model cen akcji.
• Czym proces Ornsteina-Uhlenbecka różni się od standardowego ruchu Browna?
  Proces OU dodaje człon powrotu do średniej: dX = θ(μ−X)dt + σdW. Parametr θ > 0 ściąga proces z powrotem w stronę długoterminowej średniej μ. W przeciwieństwie do czystego ruchu Browna, proces OU jest stacjonarny, a jego wariancja nie rośnie bez ograniczeń. Jest wykorzystywany do modelowania stóp procentowych (model Vasicka), cen surowców i potencjałów błonowych neuronów.
• Czym jest wariacja kwadratowa procesu Wienera?
  Wariacja kwadratowa W na przedziale [0,T] wynosi T niemal na pewno. Ta niezerowa wariacja kwadratowa odróżnia rachunek stochastyczny od rachunku klasycznego i wymusza stosowanie lematu Itô, który dodaje człon korekcyjny (½σ²f''dt) nieobecny w klasycznej regule łańcuchowej.
• Dlaczego trajektorie procesu Wienera wyglądają na poszarpane?
  Trajektorie procesu Wienera są niemal na pewno nigdzie nieróżniczkowalne. W każdym punkcie funkcja zmienia kierunek nieskończenie wiele razy — wariacja lokalna jest nieskończona. Ta matematyczna szorstkość, widoczna jako poszarpany zygzak w symulatorze, jest ilościowo uchwycona przez niezerową wariację kwadratową.
• Czym jest całka Itô i czym różni się od całkowania Riemanna?
  Całka Itô ∫₀ᵀf(t)dW(t) jest zdefiniowana jako granica sum, które zawsze wykorzystują lewy koniec każdego przedziału (nieantycypujące). Ponieważ dW ma skończoną wariację kwadratową, zwykła całka Riemanna-Stieltjesa nie jest dobrze określona, a przy stosowaniu reguły łańcuchowej (lemat Itô) pojawia się człon korekcyjny Itô ½σ²f''.
• Ile trajektorii należy zasymulować, aby uzyskać wiarygodne statystyki?
  Do zgrubnych statystyk (trajektoria średnia, przybliżony pas wariancji) zwykle wystarcza 20–50 trajektorii. Dla precyzyjnych prawdopodobieństw ogonowych lub oszacowań cen opcji zbieżność Monte Carlo skaluje się jak 1/√N, więc w praktyce typowe jest 1 000–10 000 trajektorii. Symulator rysuje jednocześnie do 30 niezależnych trajektorii, dzięki czemu można wizualnie zobaczyć rozrzut.
• Czym jest średnie przemieszczenie kwadratowe ruchu Browna?
  Dla standardowego procesu Wienera E[W(t)²] = t. Ogólniej, dla d-wymiarowego ruchu Browna o współczynniku dyfuzji D, średnie przemieszczenie kwadratowe E[|r(t)|²] = 2dDt rośnie liniowo z czasem — kluczowa sygnatura odróżniająca dyfuzję normalną od anomalnej (sub- lub super-) dyfuzji.
• Czy mogę wyeksportować zasymulowane trajektorie?
  Symulator działa w całości w przeglądarce i nie wysyła danych na żaden serwer. Możesz wykonać zrzut ekranu z płótna. Do zadań Monte Carlo na dużą skalę zaleca się uruchomienie algorytmu Eulera-Maruyamy w Pythonie z NumPy lub w Julii z DifferentialEquations.jl.