Часті запитання

• Що таке процес Вінера?
  Процес Вінера (стандартний броунівський рух) — це неперервний стохастичний процес W(t) з незалежними нормально розподіленими приростами: W(t)−W(s) ~ N(0, t−s). Він є математичним формалізмом випадкового руху, описаного ботаніком Робертом Брауном у 1827 році та строго сформульованого Норбертом Вінером у 1920-х.
• Що таке метод Ейлера-Маруями?
  Метод Ейлера-Маруями — стохастичний аналог методу Ейлера для ЗДР. Для СДР dX = f(X,t)dt + g(X,t)dW він апроксимує X(t+dt) ≈ X(t) + f(X,t)⋅dt + g(X,t)⋅√dt⋅N(0,1). Симулятор використовує цю дискретизацію з малим кроком dt для генерації реалістичних траєкторій.
• Як геометричний броунівський рух пов'язаний з моделлю Блека-Шоулза?
  ГБР — це стохастичне диференціальне рівняння dS = μS⋅dt + σS⋅dW, де μ — дрейф (очікувана прибутковість), а σ — волатильність. Формула Блека-Шоулза для оцінки опціонів припускає, що ціна базового активу слідує ГБР. Оскільки ГБР завжди залишається додатнім і дає логнормально розподілені ціни, він є канонічною моделлю для акцій.
• Чим процес Орнштейна-Уленбека відрізняється від стандартного броунівського руху?
  Процес ОУ додає член середнього повернення: dX = θ(μ−X)dt + σdW. Параметр θ > 0 притягує процес до довгострокового середнього μ. На відміну від чистого броунівського руху, процес ОУ є стаціонарним і його дисперсія не зростає необмежено. Використовується в моделі Васичека та для моделювання спредів у парному трейдингу.
• Що таке квадратична варіація процесу Вінера?
  Квадратична варіація W на [0,T] дорівнює T майже напевно. Ця ненульова квадратична варіація відрізняє стохастичне числення від звичайного і потребує леми Іто, яка додає поправний член (½σ²f''dt), відсутній у класичному правилі диференціювання складної функції.
• Чому траєкторії процесу Вінера виглядають нерівними?
  Траєкторії процесу Вінера майже напевно ніде не диференційовні. У кожній точці функція нескінченно часто змінює напрям — локальна варіація є нескінченною. Ця математична нерівність, видима як зигзаг у симуляторі, кількісно відображається ненульовою квадратичною варіацією.
• Що таке інтеграл Іто і чому він відрізняється від інтеграла Рімана?
  Інтеграл Іто визначається як границя сум, які завжди використовують ліву кінцеву точку кожного інтервалу (не-передбачувальна властивість). Оскільки dW має скінченну квадратичну варіацію, звичайний інтеграл Рімана-Стілтьєса не є коректно визначеним, і поправний член Іто ½σ²f'' з'являється при застосуванні правила диференціювання складної функції (лемма Іто).
• Скільки траєкторій потрібно симулювати для надійної статистики?
  Для грубої статистики (середня траєкторія, приблизна смуга дисперсії) зазвичай достатньо 20–50 траєкторій. Для точних оцінок хвостових ймовірностей або цін опціонів збіжність методу Монте-Карло масштабується як 1/√N, тому на практиці типово 1 000–10 000 траєкторій. Симулятор малює до 30 незалежних траєкторій одночасно.
• Яке середньоквадратичне зміщення броунівського руху?
  Для стандартного процесу Вінера E[W(t)²] = t. У загальнішому випадку для d-вимірного броунівського руху з коефіцієнтом дифузії D середньоквадратичне зміщення E[|r(t)|²] = 2dDt зростає лінійно з часом — ключова ознака, що відрізняє нормальну дифузію від аномальної.
• Чи можна експортувати симульовані траєкторії?
  Симулятор працює повністю у браузері і не надсилає дані на сервер. Ви можете зробити знімок екрана канвасу. Для масштабних розрахунків методом Монте-Карло рекомендується запустити алгоритм Ейлера-Маруями у Python з NumPy або в Julia з DifferentialEquations.jl.