Monte Carlo π

Szacuje ona π poprzez rzucanie losowymi punktami w kwadrat zawierający wpisany okrąg. Ponieważ punkt trafia do wnętrza okręgu, gdy x² + y² ≤ 1, udział punktów wewnątrz zbliża się do stosunku pól, czyli π/4. Pomnożenie tego udziału przez 4 daje przybliżenie π, które poprawia się wraz ze wzrostem liczby lotek.

Kwadrat rozciąga się od -1 do 1 na każdej osi, więc jego pole wynosi 4, podczas gdy wpisany okrąg jednostkowy ma pole równe π. Dla równomiernie losowych punktów prawdopodobieństwo trafienia do wnętrza okręgu wynosi zatem π/4. Po przekształceniu otrzymujemy π = 4 × (wewnątrz ÷ łącznie) — dokładnie ten wzór symulacja oblicza w każdej klatce.

Określa, ile losowych punktów jest generowanych w każdej klatce animacji — od 1 do 500. Wyższa wartość oznacza szybsze rzucanie lotkami, dzięki czemu łączna liczba punktów i dokładność oszacowania rosną szybciej, natomiast niższa wartość pozwala obserwować proces próbkowania punkt po punkcie.

Błąd oszacowania Monte Carlo maleje w przybliżeniu jak 1/√N, więc aby zmniejszyć go o połowę, potrzeba około czterokrotnie więcej lotek. Symulacja pokazuje to bezpośrednio poprzez pasmo zbieżności ±√(π(4−π)/N), co oznacza, że uzyskanie kilku poprawnych miejsc po przecinku może wymagać milionów próbek. Metoda jest dokładna, ale wolna w porównaniu ze wzorami analitycznymi dla π.

Jako praktyczna metoda uzyskiwania π z wysoką precyzją jest ona nieefektywna, ponieważ wolna zbieżność rzędu 1/√N sprawia, że dedykowane szeregi są znacznie szybsze. Jej prawdziwa wartość ma charakter koncepcyjny: pokazuje prawo wielkich liczb oraz siłę całkowania metodą Monte Carlo — techniki, która świetnie sprawdza się w zadaniach wielowymiarowych, gdzie tradycyjne metody numeryczne stają się niepraktyczne.