🎲 Ruina gracza

O symulacji ruiny gracza

Ten symulator bada klasyczny problem Ruiny gracza: gracz z kapitałem początkowym k stawia 1 dolara za rundę przeciwko kasynu, wygrywając z prawdopodobieństwem p, a gra kończy się dopiero przy 0 dolarów (ruina) lub przy celu n (sukces). To jednowymiarowe błądzenie losowe z dwiema barierami pochłaniającymi i dokładnym wzorem na prawdopodobieństwo ruiny w postaci zamkniętej. Cztery tryby pozwalają obserwować pojedyncze błądzenie, zbiorcze próby na tle teorii, wykresy krzywych ruiny dla kilku wartości p lub dobór wielkości stawki za pomocą kryterium Kelly'ego.

Najczęściej zadawane pytania

Najczęściej zadawane pytania

• Czym jest problem ruiny gracza?
  Ruina gracza to klasyczny problem probabilistyczny: gracz zaczyna z k dolarami i stawia 1 dolara za rundę przeciwko przeciwnikowi (kasynu) dysponującemu n − k dolarami. Gra kończy się, gdy jeden z graczy osiągnie 0 dolarów. Pytanie brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz zbankrutuje, zanim wygra?
• Jakie jest prawdopodobieństwo ruiny w grze uczciwej?
  Dla uczciwego rzutu monetą (p = q = 0,5) prawdopodobieństwo ruiny gracza zaczynającego z k dolarami przy całkowitym majątku n wynosi P(ruina) = 1 − k/n. Jeśli więc masz 10 dolarów ze 100 dolarów łącznie, masz 90% szans na bankructwo.
• Jakie jest prawdopodobieństwo ruiny w grze obciążonej?
  W grze obciążonej, w której wygrywasz każdą rundę z prawdopodobieństwem p, a przegrywasz z q = 1 − p, prawdopodobieństwo ruiny wynosi P(ruina) = (1 − (q/p)^k) / (1 − (q/p)^n). Gdy p < 0,5 (przewaga kasyna), wartość ta szybko zbliża się do 1 nawet przy dużym kapitale początkowym.
• Dlaczego kasyno zawsze wygrywa?
  Kasyna utrzymują niewielką przewagę (np. p = 0,493 w ruletce). Nawet minimalne odchylenie sprawia, że prawdopodobieństwo ruiny gracza zbliża się do 1 wraz ze wzrostem liczby rund. Znacznie większy kapitał kasyna oznacza, że efektywny stosunek k/n dla pojedynczego gracza jest zawsze znikomy.
• Czym jest kryterium Kelly'ego?
  Kryterium Kelly'ego podaje optymalny ułamek f* = p − q/b Twojego kapitału do postawienia w każdej rundzie, gdzie b to otrzymywany kurs (wypłata netto na 1 dolara stawki). Obstawianie ułamka Kelly'ego maksymalizuje długoterminowe tempo wzrostu kapitału i minimalizuje ryzyko ruiny.
• Jaki jest oczekiwany czas trwania gry?
  Dla uczciwej gry zaczynającej się z k przy całkowitym majątku n, oczekiwana liczba rund do zakończenia gry wynosi k(n−k). Dla gry obciążonej z p ≠ 0,5 oczekiwany czas trwania zależy zarówno od prawdopodobieństwa wygranej, jak i od stosunku q/p.
• Jak kapitał początkowy wpływa na prawdopodobieństwo ruiny?
  W grze uczciwej prawdopodobieństwo ruiny wynosi dokładnie (n − k)/n: podwojenie kapitału początkowego zmniejsza o połowę prawdopodobieństwo ruiny. W grze obciążonej efekt jest znacznie silniejszy — nawet podwojenie k ledwo zmniejsza prawdopodobieństwo ruiny przy przewadze kasyna, ponieważ dominuje wyraz (q/p)^k.
• Co się dzieje, gdy p > 0,5?
  Gdy masz rzeczywistą przewagę (p > 0,5), wzór na ruinę daje prawdopodobieństwo ruiny mniejsze niż 1 nawet wobec nieskończenie bogatego przeciwnika. Na przykład przy p = 0,55, zaczynając od k=10 z n=100, prawdopodobieństwo ruiny znacząco spada w porównaniu z grą uczciwą.
• Czy ruina gracza jest związana z błądzeniem losowym?
  Tak — każda gra to jednowymiarowe błądzenie losowe po liczbach całkowitych {0, 1, …, n} z barierami pochłaniającymi w 0 i n. Majątek gracza w czasie t jest łańcuchem Markowa, a prawdopodobieństwo ruiny to prawdopodobieństwo pochłonięcia w stanie 0, zaczynając od stanu k.
• Jakie sytuacje z realnego świata odpowiadają modelowi ruiny gracza?
  Poza kasynami model ten stosuje się do: handlu giełdowego przy stałej strategii, ryzyka wyginięcia gatunku w ekologii (populacja osiągająca 0), teorii ruiny w ubezpieczeniach, badań klinicznych (lek „pokonujący” placebo) oraz kolizji pakietów w protokołach sieciowych. Każda rywalizacja o ograniczone zasoby z lepiej skapitalizowanym przeciwnikiem podlega podobnej dynamice.