🚦 Ruch drogowy LWR — fale kinematyczne i fale uderzeniowe

Traktuje on ruch drogowy jako ciągły płyn, a nie pojedyncze samochody, rządzony prawem zachowania ∂ρ/∂t + ∂F(ρ)/∂x = 0, gdzie ρ to gęstość pojazdów, a F(ρ) = ρ·v(ρ) to strumień (natężenie ruchu). To makroskopowe ujęcie, opracowane przez Lighthilla, Whithama i Richardsa w latach 50. XX wieku, przewiduje wzorce zatorów bez śledzenia każdego pojazdu z osobna.

Wzór Greenshieldsa z 1935 roku ustala prędkość jako v(ρ) = v_max·(1 − ρ/ρ_max), malejącą liniowo od prędkości swobodnego ruchu przy zerowej gęstości do zera przy gęstości zatoru. Pomnożenie przez ρ daje paraboliczną krzywą strumienia, osiągającą maksimum przy ρ_max/2 — dokładnie ten wykres podstawowy pokazany w panelu w rogu symulacji.

Prędkość fali kinematycznej wynosi c = dF/dρ = v_max·(1 − 2ρ/ρ_max). Poniżej połowy gęstości zatoru jest dodatnia (fale przesuwają się do przodu wraz z ruchem); powyżej niej c staje się ujemna, więc zaburzenie gęstości rozprzestrzenia się pod prąd, przeciwnie do kierunku jazdy — widoczne jako pasy nachylone do tyłu na diagramie Hovmöllera.

Strumień na każdej granicy komórki jest obliczany jako G = min(D(ρ_L), S(ρ_R)), czyli mniejsza z wartości popytu lewej komórki i podaży prawej komórki, co poprawnie rozwiązuje fale uderzeniowe i rozrzedzenia bez oscylacji. Krok czasowy jest automatycznie ograniczany przez warunek CFL (Δt ≈ 0,45·Δx/v_max), dzięki czemu schemat nigdy nie przesuwa się szybciej, niż informacja może fizycznie przemieścić się między komórkami.

Wstrzykuje skok gęstości do krótkiego odcinka mniej więcej jednej trzeciej drogi wokół pierścienia, naśladując zamknięcie pasa lub wypadek. Poniżej skoku gęstość spada (wachlarz rozrzedzenia), a powyżej tworzy się ostra fala uderzeniowa, która pełznie do tyłu — to samo zachowanie fali uderzeniowej Rankine'a-Hugoniota, które powoduje, że prawdziwe korki na autostradach pojawiają się na długo przed faktyczną przeszkodą.