📊 Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne — interaktywny symulator

μ (mi) to średnia, która przesuwa całą krzywą dzwonową w lewo lub w prawo wzdłuż osi x, nie zmieniając jej kształtu. σ (sigma) to odchylenie standardowe, które kontroluje, jak szeroka lub wąska jest krzywa: mała σ daje wysoki, wąski szczyt skupiony blisko średniej, podczas gdy duża σ rozprasza masę prawdopodobieństwa na szerszy zakres wartości.

Reprezentuje on prawdopodobieństwo, że losowa wartość wylosowana z tego rozkładu normalnego znajdzie się między x₁ a x₂. Jest obliczany jako różnica CDF w tych dwóch punktach, Φ(x₂) − Φ(x₁), i wyświetlany jako procent. To ten sam rachunek, który stoi za dobrze znaną regułą 68-95-99,7 dla przedziałów ±1σ, ±2σ i ±3σ.

Każdy „rzut” losuje n niezależnych liczb całkowitych równomiernie z zakresu od 0 do (liczba ścianek−1) za pomocą generatora liczb losowych JavaScriptu (Math.random()) i sumuje je. Naciśnięcie +1, +100 lub +1000 powtarza ten proces odpowiednią liczbę razy i dodaje każdą sumę do bieżącego histogramu, dzięki czemu można obserwować, jak rozkład empiryczny buduje się próbka po próbce lub w dużych partiach.

Przy małej liczbie próbek słupki histogramu są zaszumione, ponieważ każdy przedział zawiera tylko garść zliczeń, więc losowe wahania są wyraźnie widoczne. Gdy dodasz setki lub tysiące kolejnych rzutów, prawo wielkich liczb uśrednia ten szum, a słupki układają się w gładki kształt dzwonu przewidywany przez centralne twierdzenie graniczne, coraz dokładniej pasując do różowej krzywej teoretycznej.

Wykorzystuje dobrze znane przybliżenie numeryczne funkcji błędu (erf) w postaci zamkniętej, dokładne do około 1,5×10⁻⁷, a nie dokładny wzór analityczny, ponieważ CDF rozkładu normalnego nie ma elementarnej postaci zamkniętej. To przybliżenie jest wystarczająco szybkie, by przeliczać się przy każdym ruchu suwaka, pozostając nieodróżnialne od prawdziwego CDF dla celów praktycznych i edukacyjnych.