📈 Нормальний розподіл

Нормальний (гауссів) розподіл із середнім μ та стандартним відхиленням σ виникає всюди, де накопичується багато малих незалежних ефектів. Центральна гранична теорема (ЦГТ) гарантує: середнє n незалежних вибірок з будь-якого розподілу сходиться до нормального при n → ∞ — найпотужніша теорема статистики. 🇬🇧 English

Режим

Розподіл

Статистика

Середнє—
Відхилення—
Площа [x₁,x₂]—
Вибірок—

Чому нормальний розподіл?

Правило 68–95–99.7: близько 68% даних потрапляє в ±1σ, 95% — у ±2σ, 99.7% — у ±3σ. У режимі ЦГТ киньте n кубиків і підсумуйте їх грані — навіть якщо кожен кубик рівномірний, розподіл суми швидко набуває форми дзвона. Застосування: похибки вимірювань, фінансові прибутки, розподіл зросту, оцінки IQ, шум в електроніці, граничний розподіл у z-тестах, t-тестах та ANOVA.

Про цю симуляцію

Ця симуляція дозволяє дослідити нормальний (гауссів) розподіл і побачити Центральну граничну теорему в дії наживо. У режимі PDF/CDF ви ліпите форму дзвоноподібної кривої власноруч, перетягуючи повзунки середнього μ та стандартного відхилення σ, а також можете виділити будь-який інтервал, щоб побачити його ймовірність. У режимі ЦГТ ви кидаєте набір віртуальних кубиків з обраними параметрами тисячі разів і спостерігаєте, як гістограма їхніх сум перетворюється з грубої рівномірної форми на плавну гауссову криву — саме так, як і передбачає теорема. Крива CDF обчислюється за замкненою наближеною формулою функції помилок (erf), а не за таблицею значень, тому кожна крива оновлюється миттєво під час перетягування повзунка.

🔬 Що показано

У режимі PDF/CDF зелена крива — це функція густини ймовірності N(μ,σ²), а напівпрозора блакитна крива — її функція розподілу (кумулятивна). Заштрихована зелена область між x₁ та x₂ показує ймовірнісну масу в цьому інтервалі. У режимі ЦГТ рожева крива накладає теоретичне нормальне наближення (середнє n·(граней+1)/2, дисперсія n·(граней²−1)/12) поверх гістограми, побудованої з реальних симульованих кидків кубиків.

🎮 Як користуватися

Перемикайтеся між режимами за допомогою кнопок PDF/CDF та ЦГТ. У режимі PDF/CDF перетягуйте повзунки середнього μ, відхилення σ та меж виділення x₁/x₂, щоб побачити, як змінюється значення площі. У режимі ЦГТ задайте кількість кубиків n і кількість граней, а потім натискайте +1, +100 або +1000, щоб додати суми кидків до гістограми, або Скинути, щоб очистити її й почати заново.

💡 Чи знали ви?

Центральна гранична теорема працює незалежно від того, наскільки перекошеним є вихідний розподіл. Навіть один рівномірний кубик (значення 0–5) має плаский, прямокутний розподіл, але сума вже п'яти-шести кубиків виглядає переконливо дзвоноподібною — це натяк на те, чому так багато природних вимірювань зрештою наближаються до нормального розподілу.

Поширені запитання

Що саме контролюють μ і σ у цій симуляції?

μ (мю) — це середнє значення, яке зсуває всю дзвоноподібну криву ліворуч або праворуч уздовж осі x, не змінюючи її форми. σ (сигма) — стандартне відхилення, яке визначає, наскільки крива широка чи вузька: маленьке σ дає високий, вузький пік біля середнього значення, а велике σ розтягує ймовірнісну масу на ширший діапазон значень.

Що насправді означає заштрихована область між x₁ та x₂?

Це ймовірність того, що випадкове значення з цього нормального розподілу потрапить між x₁ та x₂. Вона обчислюється як різниця значень CDF у цих двох точках, Φ(x₂) − Φ(x₁), і показується у відсотках. Саме на цьому розрахунку ґрунтується відоме правило 68-95-99.7 для інтервалів ±1σ, ±2σ і ±3σ.

Як саме режим ЦГТ симулює кидки кубиків?

Кожен «кидок» генерує n незалежних випадкових цілих чисел рівномірно від 0 до (кількість граней − 1) за допомогою Math.random() у JavaScript і підсумовує їх. Натискання +1, +100 або +1000 повторює цей процес відповідну кількість разів і додає кожну суму до накопичувальної гістограми, тож ви можете спостерігати, як емпіричний розподіл формується вибірка за вибіркою або великими партіями.

Чому гістограма спочатку виглядає грубою, а потім стає плавною?

Коли вибірок мало, стовпчики гістограми виглядають «шумними», бо кожен кошик містить лише жменьку значень, тож випадкові коливання добре помітні. Коли ви додаєте сотні чи тисячі нових кидків, закон великих чисел усереднює цей шум, і стовпчики набувають плавної дзвоноподібної форми, передбаченої Центральною граничною теоремою, дедалі точніше збігаючись із рожевою теоретичною кривою.

Крива CDF обчислюється точно чи наближено?

Вона використовує добре відоме замкнене чисельне наближення функції помилок (erf) із точністю приблизно 1.5×10⁻⁷, а не точну аналітичну формулу, оскільки CDF нормального розподілу не має елементарного замкненого вигляду. Це наближення достатньо швидке, щоб перераховуватися при кожному русі повзунка, залишаючись при цьому невідрізненним від справжньої CDF для практичних та навчальних цілей.