⚡ Prawa Kirchhoffa — symulator analizy obwodów

Obwód z dwoma oczkami można rozwiązać metodą prądów oczkowych lub analizą węzłową. W metodzie prądów oczkowych przypisuje się prądy oczkowe I1 i I2 każdemu oczku, a następnie stosuje KVL: dla oczka 1: V1 = I1·R1 + (I1−I2)·R2; dla oczka 2: 0 = I2·R3 + (I2−I1)·R2. Układ przekształca się do postaci macierzowej i rozwiązuje eliminacją Gaussa. Analiza węzłowa wyznacza napięcie w węźle wewnętrznym za pomocą KCL, a następnie oblicza prąd każdej gałęzi. Ten symulator wykorzystuje MNA, która automatycznie obsługuje obie metody dzięki swojemu sformułowaniu macierzowemu.

Mostek Wheatstone'a ma cztery rezystory ułożone w romb, ze źródłem napięcia na jednej przekątnej i miernikiem na drugiej. Jest zrównoważony, gdy R1/R2 = R3/R4, równoważnie R1·R4 = R2·R3 — w tym stanie przez gałąź galwanometru nie płynie żaden prąd, a napięcie mostka wynosi dokładnie zero. Warunek równowagi pozwala wyznaczyć jeden nieznany rezystor na podstawie trzech znanych. Mostki Wheatstone'a są wykorzystywane w tensometrach, termistorach i precyzyjnych przyrządach osiągających dokładność lepszą niż 0,1%.

Analiza węzłowa (oparta na KCL) wyznacza napięcia węzłowe jako podstawowe niewiadome, zapisując jedno równanie na węzeł niebazowy. Jest efektywna, gdy węzłów jest wiele, a źródeł napięcia mało. Analiza oczkowa (oparta na KVL) wyznacza prądy oczkowe, zapisując jedno równanie na niezależne oczko. Jest efektywna, gdy oczek jest wiele, a źródeł prądowych mało. Dla obwodów płaskich liczba równań oczkowych wynosi B − N + 1 (liczba gałęzi minus liczba węzłów plus jeden). MNA łączy obie metody w jednolite sformułowanie macierzowe stosowane przez symulatory oparte na SPICE.

KVL stosuje się jednakowo do obwodów nieplanarnych — suma napięć wokół dowolnego zamkniętego oczka jest zawsze zerowa, niezależnie od tego, czy obwód da się narysować bez skrzyżowań przewodów. Obwody nieplanarne nie mogą korzystać bezpośrednio z analizy oczkowej, ponieważ nie da się wyznaczyć płaskich oczek. Zamiast tego trzeba użyć analizy węzłowej lub MNA, ponieważ KCL w każdym węźle jest czysto topologiczne i nie zależy od planarności. Minimalna liczba niezależnych równań KVL dla dowolnego obwodu wynosi B − N + 1, niezależnie od planarności.

Superwęzeł powstaje, gdy idealne źródło napięcia łączy dwa węzły niebazowe. Ponieważ źródło napięcia wymusza stałą różnicę potencjałów między swoimi zaciskami, prąd przez nie płynący jest niewiadomą — nie da się zapisać równania KCL wykorzystującego samą konduktancję. Rozwiązaniem jest potraktowanie obu węzłów jako jednego połączonego superwęzła: zapisuje się KCL dla całości (suma wszystkich prądów zewnętrznych = 0) i dodaje ograniczenie napięciowe V_a − V_b = V_źródła. Daje to komplet niezależnych równań. MNA obsługuje superwęzły automatycznie za pomocą podmacierzy B i C.

Źródła zależne (sterowane) dodają człony odwołujące się do innych zmiennych obwodu. Źródło prądowe sterowane napięciem (VCCS) o transkonduktancji g_m wstrzykuje prąd g_m·V_ster, dodając elementy poza przekątną do macierzy G. Źródło napięciowe sterowane prądem (CCVS) dodaje nową niewiadomą (swój prąd) i nowe równanie (ograniczenie napięciowe). W MNA wszystkie cztery typy — VCCS, VCVS, CCCS, CCVS — są uwzględniane przez rozszerzenie podmacierzy B, C, D, zachowując rzadką strukturę potrzebną do wydajnej symulacji.

Zasada superpozycji mówi, że w liniowym obwodzie z wieloma niezależnymi źródłami odpowiedź na dowolnym elemencie równa się sumie odpowiedzi wywołanych przez każde źródło działające osobno, przy pozostałych źródłach zastąpionych ich impedancją wewnętrzną (źródła napięcia → zwarcie, źródła prądu → rozwarcie). Superpozycja upraszcza analizę, gdy źródła mają różne częstotliwości (np. obwody mieszane AC + DC). Nie ma zastosowania do obliczeń mocy, ponieważ moc jest nieliniowa (P = I²R), ani do obwodów z elementami nieliniowymi, takimi jak diody czy tranzystory.