🔯 Symetria obrotowa k-krotna

Symetria obrotowa oznacza, że obiekt wygląda identycznie po obrocie o część pełnego kąta. Symetria odbiciowa (dwustronna) oznacza, że obiekt wygląda identycznie po odbiciu lustrzanym względem linii lub płaszczyzny. Wiele kształtów ma obie te cechy — kwadrat ma symetrię obrotową 4-krotną i 4 osie symetrii odbiciowej. Śmigło może mieć symetrię obrotową, ale nie mieć symetrii odbiciowej.

Twierdzenie o ograniczeniu krystalograficznym dowodzi, że tylko te rzędy symetrii pozwalają komórkom elementarnym wypełniać płaszczyznę (lub przestrzeń) bez luk, ponieważ kąty muszą dzielić 360° w sposób zgodny z symetrią translacyjną. Komórki elementarne o symetrii 5- lub 7-krotnej (i wyższej) pozostawiają luki lub nakładki przy okresowym ułożeniu, dlatego są zabronione w klasycznej krystalografii.

Kwazikryształy mają uporządkowanie dalekiego zasięgu (ostre piki dyfrakcyjne), ale brakuje im okresowej symetrii translacyjnej, co pozwala na symetrię obrotową 5-, 8-, 10- i 12-krotną, zabronioną w klasycznych kryształach. Są zbudowane jak parkietaże Penrose'a: deterministyczne, samopodobne parkietaże nieokresowe o dobrze określonych wzorach dyfrakcyjnych, ale bez powtarzającej się komórki elementarnej.

Twierdzenie Noether (1915) mówi, że każda ciągła, różniczkowalna symetria działania układu fizycznego odpowiada pewnemu prawu zachowania. Niezmienniczość względem obrotów → zachowanie momentu pędu; niezmienniczość względem translacji → zachowanie pędu; niezmienniczość względem czasu → zachowanie energii. Symetria nie jest więc jedynie kwestią estetyki, lecz fundamentalną cechą fizyczną.

Wiele organizmów i struktur biologicznych wykazuje symetrię promienistą: rozgwiazdy (5-krotna), meduzy (4- lub 8-krotna), okrzemki (różne wartości k) oraz kapsydy wirusowe (ikosaedryczne, łączące symetrię 2-, 3- i 5-krotną). Kwiaty zwykle wykazują symetrię 3-, 4-, 5- lub 6-krotną. Powszechność symetrii 5-krotnej w biologii (pięciokąty, spirale Fibonacciego) kontrastuje z jej brakiem w klasycznych kryształach.