🌀 Eksplorator zbioru Mandelbrota

To zbiór liczb zespolonych c, dla których ciąg z(n+1) = z(n)² + c, zaczynając od z = 0, pozostaje ograniczony, zamiast uciekać do nieskończoności. Na płaszczyźnie zespolonej tworzy on słynny kształt kardioidy z bąblami i nieskończenie skomplikowaną fraktalną granicą.

Każdy piksel na płótnie jest mapowany na współrzędną zespoloną c, a następnie iterowany według wzoru z = z² + c na karcie graficznej. Jeśli moduł z pozostaje poniżej promienia ucieczki aż do limitu iteracji, piksel jest rysowany na czarno; w przeciwnym razie jest kolorowany zależnie od liczby kroków potrzebnych do ucieczki. Cała klatka jest obliczana w shaderze fragmentów WebGL.

Ustala maksymalną liczbę iteracji każdego punktu, zanim zostanie uznany za część zbioru — od 50 do 1000, domyślnie 300. Wyższe wartości ujawniają cienkie nitki i drobne struktury widoczne dopiero przy głębokim powiększeniu, ale spowalniają renderowanie, ponieważ każdy piksel wykonuje więcej kroków pętli.

Opcje Fire, Ocean, Psychedelic i Grayscale to różne gradienty oparte na funkcji kosinus, nakładane na czas ucieczki każdego piksela. Sam kolor nie niesie dodatkowego znaczenia matematycznego — po prostu wizualizuje, jak szybko punkt opuścił obszar ucieczki.

Podstawową regułą jest z(n+1) = z(n)² + c, iterowane od z = 0, gdzie c to współrzędna piksela na płaszczyźnie zespolonej. Aby uniknąć pasmowania kolorów, eksplorator stosuje płynne kolorowanie, mu = n + 1 minus log2(log2 modułu z), co daje ciągłą wartość ucieczki zamiast skokowej liczby całkowitej.

Czarne piksele to punkty, których iteracje nigdy nie przekraczają promienia ucieczki w ramach limitu iteracji, więc są traktowane jako należące do zbioru. Ponieważ test jest ograniczony wartością Max iterations, część czarnych punktów to w rzeczywistości bardzo wolno uciekające punkty; zwiększenie suwaka może ujawnić w nich drobne detale.

Algorytm czasu ucieczki jest w zasadzie dokładny, ale ten eksplorator wykorzystuje liczby zmiennoprzecinkowe pojedynczej precyzji na karcie graficznej. To wystarcza przy umiarkowanym powiększeniu, jednak przy bardzo głębokim zoomie błędy zaokrągleń powodują, że obraz staje się blokowy. Profesjonalne narzędzia do głębokiego powiększania używają arytmetyki dowolnej precyzji.

Matematycznie granica jest samopodobna w każdej skali, więc struktura nigdy naprawdę się nie kończy. W praktyce ta symulacja jest ograniczona przez pojedynczą precyzję zmiennoprzecinkową, która zaczyna pikselować się po powiększeniu rzędu biliona razy.

Zbiór Julii ustala wartość c i zmienia punkt startowy z, podczas gdy zbiór Mandelbrota ustala z = 0 i zmienia c. Każdy punkt wewnątrz zbioru Mandelbrota odpowiada spójnemu zbiorowi Julii, więc zbiór Mandelbrota działa jak mapa tego, które zbiory Julii są spójne, a które rozproszonym pyłem.

Poza sztuką generatywną idea czasu ucieczki wykorzystywana jest w projektowaniu anten fraktalnych, gdzie samopodobne kształty mieszczą szeroką odpowiedź częstotliwościową na małej powierzchni. Pokrewna matematyka fraktalna pojawia się w kompresji obrazu i sygnału oraz w generowaniu terenu i tekstur do filmów i gier.