Обертальна симетрія порядку k (k-кратна симетрія) описує об'єкти, що виглядають незмінними після повороту на 360°/k навколо центральної осі. Візерунок із 6-кратною симетрією виглядає однаково після повороту на 60°, 120°, 180°, 240°, 300° або 360°. Симетрія — фундаментальне поняття математики, фізики та дизайну: вона спрощує розв'язання рівнянь, визначає фізичні властивості кристалів і задає естетичну мову мистецтва та архітектури в різних культурах.
У кристалографії теорема про кристалографічні обмеження стверджує, що лише 1-, 2-, 3-, 4- та 6-кратна обертальна симетрія сумісні з періодичною (трансляційною) ґраткою у 2D та 3D. 5-кратна та вища симетрія не можуть періодично замостити площину. Це уявлення перевернуло відкриття квазікристалів у 1984 році — структур, що демонструють 5-кратну симетрію в дифракційних картинах, жертвуючи періодичністю, але зберігаючи дальній порядок. За це відкриття було присуджено Нобелівську премію з хімії 2011 року.
Групи симетрії лежать в основі сучасної фізики завдяки теоремі Нетер: кожній неперервній симетрії відповідає закон збереження. Обертальна симетрія простору породжує збереження моменту імпульсу; трансляційна симетрія — збереження імпульсу; симетрія відносно зсуву в часі — збереження енергії. У фізиці елементарних частинок Стандартна модель побудована на калібрувальних групах симетрії SU(3)×SU(2)×U(1), а порушення симетрії породжує масу частинок через механізм Хіггса.
Обертальна симетрія означає, що об'єкт виглядає незмінним після повороту на частку повного оберту. Дзеркальна (білатеральна) симетрія означає, що об'єкт виглядає незмінним при відображенні відносно лінії чи площини. Багато фігур мають обидва види: квадрат має 4-кратну обертальну симетрію і 4 осі дзеркальної симетрії. Пропелер може мати обертальну симетрію, але не мати дзеркальної.
Теорема про кристалографічні обмеження доводить, що лише ці порядки дозволяють елементарним коміркам замощувати площину (або простір) без прогалин, оскільки кути мають ділити 360° на частини, сумісні з трансляційною симетрією ґратки. Комірки з 5-кратною, 7-кратною та вищою симетрією залишають прогалини або накладання при періодичному замощенні, тому вони заборонені в класичній кристалографії.
Квазікристали мають дальній порядок (чіткі дифракційні піки), але не мають періодичної трансляційної симетрії, що дозволяє їм проявляти 5-, 8-, 10- та 12-кратну обертальну симетрію, заборонену в класичних кристалах. За структурою вони нагадують мозаїки Пенроуза: детерміновані самоподібні неперіодичні замощення з чітко визначеними дифракційними картинами, але без повторюваної елементарної комірки.
Теорема Нетер (1915) стверджує, що кожній неперервній диференційовній симетрії дії фізичної системи відповідає закон збереження. Обертальна інваріантність відповідає збереженню моменту імпульсу; трансляційна інваріантність — збереженню імпульсу; інваріантність відносно часу — збереженню енергії. Таким чином симетрія має не лише естетичне, а й фундаментальне фізичне значення.
Багато організмів і біологічних структур мають радіальну симетрію: морські зірки (5-кратна), медузи (4- або 8-кратна), діатомові водорості (різна k-кратна) та капсиди вірусів (ікосаедричні, що поєднують 2-, 3- та 5-кратну симетрію). Квіти зазвичай мають 3-, 4-, 5- або 6-кратну симетрію. Поширеність 5-кратної симетрії в біології (п'ятикутники, спіралі Фібоначчі) контрастує з її відсутністю в класичних кристалах.