PL 
EnglishDomyślny
Українська🌡 Równanie przewodnictwa cieplnego — rozkład temperatury 2D
Symuluj przewodzenie ciepła w 2D metodą różnic skończonych. Rysuj źródła i pochłaniacze ciepła, obserwuj dyfuzję temperatury i porównuj stan ustalony z nieustalonym.
O tej symulacji
Ta symulacja rozwiązuje dwuwymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego ∂T/∂t = α∇²T na siatce 80×80 metodą jawnych różnic skończonych. Maluj gorące źródła, zimne upusty i izolujące ściany bezpośrednio na płótnie, a następnie obserwuj, jak temperatura rozprzestrzenia się na zewnątrz, gdy solver wielokrotnie stosuje pięciopunktowy szablon Laplace'a. Osobna procedura relaksacji Gaussa–Seidla pozwala przejść od razu do rozkładu stanu ustalonego — pola harmonicznego opisanego równaniem Laplace'a ∇²T = 0, gdy wszystkie stany przejściowe już zanikły.
🔬 Co pokazuje
Każda klatka animacji przelicza temperaturę każdej wolnej komórki na podstawie jej czterech sąsiadów według wzoru T ← T + (α·Δt/Δx²)·(Tlewa+Tprawa+Tgóra+Tdół−4T), z mapowaniem barwnym od głębokiego błękitu (0°C) przez zieleń i żółć aż po biel (100°C). Gorące komórki pozostają zablokowane na 100°C, zimne na 0°C, a ściany utrzymują stałą temperaturę 20°C, jednocześnie blokując dyfuzję przez nie. Odczyty Max, Min i Mean oraz licznik kroków aktualizują się co klatkę.
🎮 Jak korzystać
Wybierz Hot, Cold lub Wall, a następnie kliknij i przeciągnij po płótnie, aby namalować źródła o wybranym rozmiarze pędzla; Erase przywraca komórki do swobodnej dyfuzji. Suwak Diffusivity α (0,01–0,48) ustala, jak szybko rozprzestrzenia się ciepło, a kod ogranicza efektywny krok czasowy tak, by α·Δt/Δx² nigdy nie przekraczało około 0,24. Steady-state uruchamia natychmiast 3000 przebiegów relaksacji Gaussa–Seidla; Clear resetuje płytę do jednolitej temperatury 20°C; przyciski Rod i Room wczytują gotowe presety.
💡 Czy wiesz, że
Joseph Fourier wprowadził to równanie w 1822 roku w swoim dziele Théorie analytique de la chaleur. Ta sama matematyka, w której temperaturę zastępuje się gęstością prawdopodobieństwa, opisuje ruchy Browna i leży u podstaw wzoru Blacka–Scholesa na wycenę opcji, wykorzystywanego we współczesnych finansach.
Najczęściej zadawane pytania
Co kontroluje suwak Diffusivity α?
Alfa ustala dyfuzyjność cieplną w równaniu ∂T/∂t = α∇²T, decydując o tym, jak szybko ciepło rozprzestrzenia się po płycie w każdym kroku. Symulacja automatycznie skaluje swój wewnętrzny krok czasowy tak, by α·Δt/Δx² nigdy nie przekraczało około 0,24, co utrzymuje jawną metodę różnic skończonych numerycznie stabilną nawet przy maksymalnej wartości suwaka 0,48.
Czym ściany różnią się od gorących i zimnych źródeł?
Gorące i zimne komórki są zablokowane na stałych temperaturach (100°C i 0°C) i działają jako ciągłe źródła lub upusty, wciąż wtryskujące lub usuwające ciepło w każdym kroku. Ściany utrzymują stałą temperaturę 20°C, ale co ważniejsze, szablon obliczeniowy traktuje sąsiadującą komórkę ściany jako równą temperaturze bieżącej komórki, dzięki czemu skutecznie blokuje przepływ ciepła przez granicę, działając jak izolator.
Co się dzieje po kliknięciu Steady-state?
Przycisk Steady-state zatrzymuje animowane kroki czasowe i zamiast tego uruchamia 3000 iteracji relaksacji Gaussa–Seidla, wielokrotnie uśredniając każdą wolną komórkę z jej czterema sąsiadami. Prowadzi to do zbieżności z rozwiązaniem równania Laplace'a ∇²T = 0 — rozkładem, do którego płyta ostatecznie by dążyła, gdyby pozostawić symulację działającą w nieskończoność — obliczonym niemal natychmiast, zamiast klatka po klatce.
Co pokazują presety Rod i Room?
Preset Rod umieszcza pionową kolumnę gorących komórek o temperaturze 100°C blisko lewej krawędzi oraz zimną ścianę o temperaturze 0°C wzdłuż prawej krawędzi, z izolującymi ścianami u góry i u dołu, ilustrując proste przewodzenie ciepła przez płytę między źródłem a upustem ciepła. Preset Room umieszcza pas „grzejnika” o temperaturze 80°C wzdłuż dołu oraz pas „okna” o temperaturze 0°C w prawym górnym rogu, otoczone izolującymi ścianami, pokazując, jak ciepło nierównomiernie rozprzestrzenia się w pomieszczeniu.
Dlaczego symulacja ogranicza wpływ suwaka dyfuzyjności na szybkość?
Jawne schematy różnic skończonych dla równania przewodnictwa cieplnego są numerycznie stabilne tylko wtedy, gdy α·Δt/Δx² pozostaje poniżej 0,25; powyżej tego progu małe błędy narastają w każdym kroku, a pole temperatury zaczyna oscylować i rozbiegać się zamiast się wygładzać. Kod wymusza to ograniczenie, utrzymując efektywny stosunek na poziomie maksymalnie 0,24, niezależnie od tego, jak wysoko ustawiony jest suwak Diffusivity.