Про задачу розорення гравця

Задача розорення гравця — один із найвідоміших результатів теорії ймовірностей. Гравець починає з k доларів і ставить по $1 за раунд проти казино з n − k доларами. Гра закінчується, коли один із гравців досягає $0. Незважаючи на удавану симетрію, скінченний капітал гравця завжди є фатальним недоліком проти багатшого суперника.

Для чесної гри (p = q = 0.5) ймовірність розорення точно дорівнює:

P(розорення | початок у k) = 1 − k/n

Для упередженої гри (p ≠ 0.5, де r = q/p):

P(розорення) = (1 − r^k) / (1 − r^n)

Навіть незначна перевага казино (наприклад, p = 0.493 у рулетці) робить r > 1, і ймовірність розорення швидко наближається до 1. Критерій Келлі дає частку банкролу, що максимізує довгостроковий ріст:

f* = p − q / b

де b — чиста виплата за $1 ставки. Ставка, більша за критерій Келлі, збільшує ризик показово; менша — жертвує темпом зростання.

Часті запитання

  • Що таке задача розорення гравця?
    Задача розорення гравця — класична задача теорії ймовірностей: гравець починає з k доларів і ставить по $1 за раунд проти суперника (казино) з n − k доларами. Гра закінчується, коли один із гравців досягає $0. Питання: яка ймовірність того, що гравець розориться до виграшу?
  • Яка ймовірність розорення у чесній грі?
    Для чесного підкидання монети (p = q = 0.5) ймовірність розорення гравця, що починає з k доларів при загальному капіталі n, дорівнює P(розорення) = 1 − k/n. Маючи $10 із $100, ви маєте 90% шанс збанкрутувати.
  • Яка ймовірність розорення у грі з перевагою казино?
    Для упередженої гри, де ви виграєте з імовірністю p і програєте з імовірністю q = 1 − p, ймовірність розорення: P = (1 − (q/p)^k) / (1 − (q/p)^n). При p < 0.5 (перевага казино) вона швидко наближається до 1 навіть для великого початкового капіталу.
  • Чому казино завжди виграє?
    Казино має невелику перевагу (наприклад, p = 0.493 у рулетці). Навіть незначне зміщення робить ймовірність розорення гравця близькою до 1 зі зростанням кількості раундів. Великий капітал казино означає, що відношення k/n завжди мале для будь-якого окремого гравця.
  • Що таке критерій Келлі?
    Критерій Келлі дає оптимальну частку f* = p − q/b від банкролу для ставки за раунд, де b — отримані коефіцієнти (чиста виплата за $1 ставки). Ставка за Келлі максимізує довгостроковий темп зростання банкролу та мінімізує ризик розорення.
  • Яка очікувана тривалість гри?
    Для чесної гри, що починається в k при загальному капіталі n, очікувана кількість раундів до кінця гри дорівнює k(n−k). Для упередженої гри з p ≠ 0.5 очікувана тривалість залежить від ймовірності виграшу та співвідношення q/p.
  • Як початковий капітал впливає на ймовірність розорення?
    У чесній грі ймовірність розорення точно дорівнює (n − k)/n: подвоєння початкового капіталу вдвічі зменшує ймовірність розорення. В упередженій грі ефект набагато сильніший — навіть подвоєння k ледь знижує ймовірність розорення при наявності переваги казино, оскільки домінує член (q/p)^k.
  • Що відбувається, коли p > 0.5?
    Коли у вас є реальна перевага (p > 0.5), формула розорення дає ймовірність менше 1 навіть проти нескінченно багатого суперника. Наприклад, при p = 0.55, k=10, n=100 ймовірність розорення суттєво нижча, ніж у чесній грі.
  • Чи пов'язана задача розорення з випадковими блуканнями?
    Так — кожна гра є одновимірним випадковим блуканням на цілих числах від 0 до n з поглинальними бар'єрами у 0 та n. Капітал гравця у момент t є ланцюгом Маркова, а ймовірність розорення — ймовірністю поглинання у стані 0, починаючи зі стану k.
  • Які реальні ситуації відповідають моделі розорення гравця?
    Крім казино, модель застосовується до: торгівлі акціями з фіксованою стратегією, ризику вимирання видів в екології (популяція, що сягає 0), теорії руїни страхування, клінічних випробувань (препарат проти плацебо) та зіткнення пакетів у мережевих протоколах. Будь-яка конкуренція з обмеженими ресурсами проти краще капіталізованого суперника підпорядковується схожій динаміці.

Про цю симуляцію

Ця симуляція досліджує класичну задачу розорення гравця: гравець із початковим капіталом k робить ставку в $1 щоразу проти казино, вигравши раунд з імовірністю p, і гра триває, доки капітал не досягне нуля (розорення) або цільової суми n (виграш). За суттю це одновимірне випадкове блукання з двома поглинальними межами, для якого ймовірність розорення має точну замкнену формулу, а не наближення. Чотири режими дозволяють спостерігати за одним блуканням, порівнювати серії спроб із теорією, будувати криві ймовірності розорення для різних p або добирати оптимальний розмір ставки за допомогою критерію Келлі.

🔬 Що показано

Режим «Траєкторія» анімує одне випадкове блукання капіталу гравця між межами 0 та n. «Мульти-спроба» запускає багато блукань партіями і порівнює симульований відсоток розорень із теоретичним значенням. «Теор. крива» будує P(розорення) залежно від k для п'яти ймовірностей виграшу (0.35–0.65), виділяючи обране вами p. «Критерій Келлі» натомість показує темп логарифмічного зростання банкролу залежно від частки ставки f, позначаючи оптимальну частку f* зеленою точкою.

🎮 Як користуватися

Встановіть ймовірність виграшу p (0.30–0.70), початковий капітал k (1–99) і загальний капітал n (10–200); k автоматично утримується меншим за n. Повзунок «Кількість спроб» (10–1000) визначає розмір партії в режимі «Мульти-спроба», а «Коефіцієнт b» (0.5–5) — виплату за $1 ставки в режимі критерію Келлі. Кнопки «Пауза», «Скинути» та «Нова спроба» керують анімацією.

💡 Чи знали ви?

Задачу розорення гравця було сформульовано як одну з п'яти вправ у трактаті Християна Гюйгенса 1657 року — одній з перших книг із теорії ймовірностей — і повністю розв'язано в замкненому вигляді лише пізніше, у роботах Якоба Бернуллі та Абрахама де Муавра.

Поширені запитання

Що показують чотири режими перегляду?

«Траєкторія» анімує одне блукання капіталу між межами 0 та n. «Мульти-спроба» запускає блукання партіями по вісім і порівнює симульований відсоток розорень із теоретичним. «Теор. крива» будує P(розорення) залежно від k для п'яти ймовірностей виграшу. «Критерій Келлі» натомість показує темп логарифмічного зростання залежно від частки ставки f.

Чому початковий капітал k не може дорівнювати або перевищувати загальний капітал n?

k — це ставка гравця з фіксованого загального капіталу n, тож вона має залишатися меншою за n, інакше блуканню нікуди рухатися. Якщо повзунки намагаються встановити k на рівні n або вище, симуляція автоматично обмежує k значенням n − 1.

Чому повзунок ймовірності виграшу обмежено діапазоном 0.30–0.70?

p — це шанс виграти кожну ставку в $1. Значення, близькі до 0 чи 1, роблять результат майже гарантованим за кілька раундів, через що теоретичні криві та статистика мульти-спроб перетворюються на малоінформативні прямі лінії.

Що саме змінює коефіцієнт b у режимі критерію Келлі?

b — це чиста виплата за $1 ставки, яка входить у формулу темпу зростання g(f) = p·ln(1+bf) + q·ln(1−f). Збільшення b підвищує оптимальну частку Келлі f* = p − q/b; якщо p дорівнює 0.5 або менше, режим повідомляє про відсутність переваги.

Наскільки симульований відсоток розорень збігається з теоретичною формулою?

Режим «Мульти-спроба» підраховує, скільки блукань партії завершилися на 0, а скільки — на n. Зі зростанням кількості спроб симульований відсоток розорень наближається до точного значення — 1 − k/n для чесної гри або співвідношення (q/p)^k для упередженої — за законом великих чисел.