🔳 Automat komórkowy 3D — reguły przetrwania i narodzin

Trójwymiarowy automat komórkowy to siatka komórek rozmieszczonych w przestrzeni trójwymiarowej, gdzie każda komórka jest żywa albo martwa. W każdym kroku czasowym każda komórka jednocześnie analizuje swoich sąsiadów i stosuje ustaloną regułę, by zdecydować, czy przeżyje, umrze, czy się narodzi w kolejnym pokoleniu. Rezultatem jest złożone, emergentne zachowanie wynikające z bardzo prostych lokalnych reguł.

W trzech wymiarach sąsiedztwo Moore'a danej komórki obejmuje wszystkie komórki znajdujące się w odległości Czebyszewa równej 1 — czyli wszystkie komórki różniące się co najwyżej o 1 na każdej z osi x, y i z. Daje to 3³ − 1 = 26 sąsiadów (bez samej komórki), w porównaniu z 8 sąsiadami w dwuwymiarowym sąsiedztwie Moore'a.

Reguły zapisuje się w notacji S/B, gdzie S to zbiór liczby sąsiadów, przy których żywa komórka przeżywa, a B to zbiór liczby sąsiadów, przy których martwa komórka rodzi się (staje się żywa). Na przykład Crystal Growth używa S=5,6,7 i B=6: żywa komórka przeżywa, jeśli dokładnie 5, 6 lub 7 z jej 26 sąsiadów jest żywych; martwa komórka ożywa tylko wtedy, gdy ma dokładnie 6 żywych sąsiadów.

Reguła Crystal Growth (S 5,6,7 / B 6) ma bardzo wąski warunek narodzin — komórki ożywają tylko wtedy, gdy mają dokładnie 6 żywych sąsiadów. Tworzy to stabilne, fasetowane struktury rosnące na zewnątrz w kątowych warstwach, podobnie jak w prawdziwych sieciach krystalicznych, ponieważ nowe komórki mogą dołączać się tylko w konkretnych, geometrycznie ograniczonych miejscach.

Reguła Amoeba wykorzystuje bardzo szeroki zbiór przetrwania (S 9–26) i selektywny zbiór narodzin (B 5,6,7,12,13,15). Komórki w gęstych obszarach łatwo przeżywają, a nowe komórki rodzą się jedynie w umiarkowanie zaludnionych strefach. Tworzy to duże, bezkształtne bryły, które wysuwają wypustki podobne do nibynóżek w mniej zaludnioną przestrzeń, naśladując ruch jednokomórkowych organizmów.

Totalistyczny automat komórkowy to taki, którego reguły zależą wyłącznie od łącznej liczby żywych sąsiadów, a nie od ich rozmieszczenia w przestrzeni. Symulowane tu automaty 3D są outer-totalistyczne — następny stan zależy od bieżącego stanu komórki i sumy jej sąsiadów. Znacznie zmniejsza to przestrzeń reguł: liczy się tylko 27 możliwych liczb sąsiadów (0–26), a nie wszystkie możliwe konfiguracje przestrzenne.

Gra w życie Conwaya to dwuwymiarowy automat komórkowy z 8 sąsiadami Moore'a. Automaty 3D rozszerzają to na sześcian np. 20×20×20 z 26 sąsiadami Moore'a. Podczas gdy GoL używa jednej ustalonej reguły (B3/S23), automaty 3D eksplorują ogromną przestrzeń reguł — zbiory przetrwania i narodzin wybierane z zakresu 0–26 — dając niesamowitą różnorodność zachowań, od wzrostu kryształów po chaotyczną eksplozję.

O długoterminowym zachowaniu decydują trzy czynniki: (1) szerokość zbioru narodzin — szerokie zbiory narodzin powodują wybuchowy wzrost; (2) szerokość zbioru przetrwania — wąskie zbiory przetrwania powodują szybkie wymieranie; (3) ich wzajemne oddziaływanie przy typowych gęstościach. Reguły, których liczby przetrwania i narodzin skupiają się blisko oczekiwanej liczby żywych sąsiadów przy danej gęstości, zwykle samoregulują się do stabilnych lub oscylujących struktur. Reguły niedopasowane do gęstości eksplodują lub zapadają się.

Tak. Niektóre reguły 3D CA przybliżają dyfuzję, wzrost kryształów, krzepnięcie dendrytyczne, a nawet przepływy przypominające ciecze. Reguła Pyroclastic (S 4,5,6,7 / B 6,7,8) tworzy struktury przypominające rozprzestrzeniającą się gorącą lawę. Badacze wykorzystywali pokrewne automaty typu lattice-gas do modelowania rzeczywistej dynamiki płynów i układów reakcyjno-dyfuzyjnych, ponieważ lokalne reguły równoległe mogą przybliżać ciągłe równania różniczkowe.

Gęstość początkowa silnie wpływa na to, które reguły dają interesujące wzory. Przy niskiej gęstości (5–15%) komórki są zbyt rzadkie, by spełnić warunki narodzin wymagające wielu sąsiadów — automat zanika. Przy wysokiej gęstości (40–50%) przegęszczenie zabija komórki szybciej, niż narodziny mogą je zastąpić. Optymalny zakres (20–35%) daje najbogatsze zachowania, gdzie lokalne skupiska mogą się utrzymać i rozprzestrzeniać. Każda reguła ma idealny zakres gęstości dla interesującej dynamiki.