🪡 Igła Buffona — szacowanie π metodą Monte Carlo

Georges-Louis Leclerc, hrabia de Buffon (1707–1788), był francuskim przyrodnikiem, matematykiem i kosmologiem, znanym przede wszystkim z 44-tomowej encyklopedii Historia naturalna. Jego problem igły, przedstawiony Królewskiej Akademii Nauk w 1777 roku, był jednym z pierwszych zastosowań prawdopodobieństwa geometrycznego. Buffon zaproponował także wczesne teorie ewolucji, sugerował, że Ziemia jest znacznie starsza, niż wskazywały relacje biblijne (szacując jej wiek na 75 000 lat na podstawie tempa stygnięcia metali), i wywarł wpływ na późniejszych przyrodników, w tym Darwina.

Prawo wielkich liczb mówi, że wraz ze wzrostem liczby niezależnych prób N średnia z próby zbiega do prawdziwej wartości oczekiwanej. W eksperymencie z igłą obserwowana frakcja przecięć (przecięcia/N) zbiega do prawdziwego prawdopodobieństwa P = 2L/(πd), a zatem oszacowanie π = 2LN/(d·przecięcia) zbiega do prawdziwej wartości π. Istnieją dwie wersje tego prawa: słabe prawo (zbieżność według prawdopodobieństwa) i mocne prawo (zbieżność niemal na pewno).

Tak. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini twierdził, że uzyskał π ≈ 3.14159265 przy użyciu 3408 rzutów igłą — podejrzanie dokładny wynik jak na taką liczebność próby. Analiza statystyczna sugeruje, że jego wynik był albo sfałszowany, albo wynikiem „opcjonalnego zatrzymania” (przerwania eksperymentu w momencie, gdy oszacowanie akurat było dobre). Bardziej wiarygodne eksperymenty zwykle dają 2–3 poprawne miejsca po przecinku przy tysiącach rzutów. Współczesne komputery mogą wykonać miliardy wirtualnych rzutów w ciągu kilku sekund.

Prawdopodobieństwo przecięcia P = 2L/(πd) jest wprost proporcjonalne do L/d. Przy L/d = 1 (igła tak długa jak odstęp między liniami) P = 2/π ≈ 0.6366, więc około 64% igieł przecina linię. Przy L/d = 0.5 P ≈ 0.318, czyli przecina ok. 32% igieł. Wyższe prawdopodobieństwo przecięcia oznacza więcej przecięć na rzut, co zmniejsza wariancję i sprawia, że oszacowanie zbiega nieco szybciej — jednak bardzo krótkie igły przecinają linię bardzo rzadko, co ponownie zwiększa wariancję.

Nie. Nowoczesne algorytmy, takie jak szeregi typu Machina (π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)) czy wzór Baileya–Borweina–Plouffe’a (BBP), pozwalają obliczyć miliardy cyfr π przy użyciu deterministycznej arytmetyki. Metody Monte Carlo, takie jak igła Buffona, są interesujące teoretycznie i historycznie, ale są obliczeniowo nieefektywne przy obliczaniu π z dużą precyzją. Pozostają jednak ważne w fizyce statystycznej i modelowaniu ryzyka do szacowania całek wielowymiarowych, które nie mają rozwiązania w postaci zamkniętej.

Wykres zbieżności przedstawia bieżące oszacowanie π (zielona linia) w zależności od liczby rzutów N na osi poziomej. Przerywana bursztynowa linia przy y = 3.14159 oznacza wartość prawdziwą. Na początku eksperymentu oszacowanie mocno się waha; wraz ze wzrostem N zielona linia zbliża się do przerywanej linii odniesienia. Charakterystyczny kształt „lejka” — szeroki rozrzut na początku, węższy pod koniec — jest bezpośrednią wizualną demonstracją tego, że odchylenie standardowe maleje jak 1/√N.

Tak. „Makaron Buffona” uogólnia eksperyment na zakrzywioną igłę o tej samej długości, dając ten sam wzór na prawdopodobieństwo (elegancko wyjaśniony przez twierdzenie Cauchy’ego). Paradoks Bertranda dotyczy prawdopodobieństwa, że losowa cięciwa okręgu jest dłuższa niż bok wpisanego trójkąta równobocznego, z trzema różnymi „naturalnymi” odpowiedziami w zależności od tego, jak zdefiniuje się „losową cięciwę”. Oszacowanie π metodą Monte Carlo można również przeprowadzić, losowo umieszczając punkty w kwadracie jednostkowym i sprawdzając, czy trafiają one w wpisaną ćwiartkę koła (stosunek pól π/4).