🪡 Голка Бюффона

Довжина голки L (× відстань між лініями d): 0.80 Швидкість (голок / кадр): 3

Кинуто голок (N)0

Перетинів0

Частка перетинів—

Абсолютна похибка—

—

оцінка π (точне = 3,14159)

Бюффон (1777)
P(перетин) = 2L / (π·d)
⇒ π ≈ 2·L·N / (d·перетини)
Більше кидків → точніша оцінка (закон великих чисел).

Теорія та виведення

У 1777 році Жорж-Луї Леклерк, граф де Бюффон, поставив таке питання: якщо кинути голку довжиною L на підлогу, розкреслену паралельними лініями на відстані d одна від одної (за умови L ≤ d), яка ймовірність того, що голка перетне лінію?

Нехай x — відстань від центра голки до найближчої лінії (рівномірно розподілена на [0, d/2]), а θ — її кут (рівномірно на [0, π/2]). Голка перетинає лінію, коли x ≤ (L/2)·sin θ. Інтегруючи за обома рівномірними величинами, отримуємо ймовірність перетину P = 2L / (π·d).

Перетворивши, маємо π = 2L / (P·d). Ми оцінюємо P спостереженою часткою перетини / N, тож π ≈ 2·L·N / (d·перетини). За законом великих чисел спостережена частка прямує до істинної ймовірності, а оцінка π збігається до 3,14159… — дивовижний спосіб обчислити π, користуючись лише випадковою геометрією.

Голки на підлозі з лініями — зелені перетинають лінію, сірі не перетинають

Збіжність оцінки π залежно від кількості кидків