Голки на підлозі з лініями — зелені перетинають лінію, сірі не перетинають
Збіжність оцінки π залежно від кількості кидків
Голка Бюффона — класичний імовірнісний дослід, запропонований французьким математиком Жоржем-Луї Леклерком, графом де Бюффоном, у 1777 році. Голка довжиною L кидається навмання на поверхню з паралельними лініями, що розташовані на відстані d одна від одної (при L ≤ d). Імовірність того, що голка перетне лінію, дорівнює P = 2L/(π·d), і в цьому суто геометричному контексті фігурує π. Перетворення дає π ≈ 2·L·N/(d·перетини), де N — кількість кидків, а перетини — кількість голок, що перетнули лінію. Це один із перших і найелегантніших методів Монте-Карло — використання випадкового відбору для оцінки математичної константи.
Симуляція кидає голки у випадкові позиції та під випадковими кутами, підсвічує голки-перетини зеленим, а ті, що не перетинають — сірим, та відображає збіжність оцінки π до кількості кидків на другому графіку. Ви можете регулювати відношення довжини до відстані L/d (0,1–1,0), швидкість кидання (1–30 голок за кадр), а також скидати дослід або кидати 100 голок за раз.
Як кидання голок оцінює π?
Нехай x — перпендикулярна відстань від центру голки до найближчої лінії (рівномірна на [0, d/2]), а θ — гострий кут між голкою і лініями (рівномірний на [0, π/2]). Голка перетинає лінію, коли x ≤ (L/2)·sin θ. Інтегрування за обома рівномірними розподілами дає ймовірність перетину P = 2L/(πd). Виражаючи π = 2L/(Pd) і замінюючи теоретичну P спостережуваною часткою перетинів/N, отримуємо π ≈ 2LN/(d·перетини).
Наскільки швидко оцінка збігається до π?
За центральною граничною теоремою, стандартна похибка оцінки π методом Монте-Карло зменшується пропорційно 1/√N. Для отримання одного додаткового знака точності потрібно приблизно в 100 разів більше кидків. Після 10 000 кидків зазвичай вдається отримати 2 правильні знаки після коми; після 1 000 000 кидків — приблизно 3. Графік збіжності показує, як оцінка коливається навколо π = 3,14159 і поступово стабілізується.
Що відбувається, якщо голка довша за відстань між лініями (L > d)?
Коли L > d, проста формула P = 2L/(πd) не працює, бо довга голка може перетнути кілька ліній. Загальна формула для «довгої голки» складніша і включає функцію arccos. Ця симуляція використовує L/d ≤ 1,0 (випадок короткої голки), де формула точна і простіша для виведення.
Жорж-Луї Леклерк, граф де Бюффон (1707–1788), — французький натураліст, математик і космолог, найбільш відомий своєю 44-томною «Природною історією». Задача з голкою, представлена Королівській академії наук у 1777 році, стала одним із перших застосувань геометричної ймовірності. Бюффон також пропонував ранні теорії еволюції та припускав, що Земля значно старша за біблійні хронології.
Закон великих чисел стверджує, що зі збільшенням кількості незалежних випробувань N вибіркове середнє збігається до справжнього математичного сподівання. У досліді з голкою спостережувана частка перетинів збігається до P = 2L/(πd), а тому оцінка π = 2LN/(d·перетини) збігається до справжнього значення π. Існують слабкий закон (збіжність за ймовірністю) і сильний закон (майже напевне збіжність).
Так. У 1901 році італійський математик Маріо Лаццаріні заявив, що отримав π ≈ 3,14159265 за 3408 кидків голки — підозріло точно для такої кількості кидків. Статистичний аналіз свідчить, що результат був або сфальсифікований, або є прикладом «зупинки за бажанням» (коли зупиняються в момент, коли оцінка є вдалою). Більш достовірні досліди зазвичай дають 2–3 правильних знаки при тисячах кидків.
Ймовірність перетину P = 2L/(πd) прямо пропорційна L/d. При L/d = 1 (голка такої ж довжини, як відстань між лініями), P = 2/π ≈ 0,6366, тобто ~64% голок перетинають лінію. При L/d = 0,5 маємо P ≈ 0,318, тобто ~32%. Вище відношення L/d дає більше перетинів на кидок і дещо прискорює збіжність, але дуже короткі голки перетинають занадто рідко, знову збільшуючи дисперсію.
Ні. Сучасні алгоритми на зразок формул Мачіна або формули Бейлі–Борвейна–Плаффа (BBP) можуть обчислювати мільярди знаків π за допомогою детермінованої арифметики. Методи Монте-Карло, як-от голка Бюффона, цікаві теоретично та історично, але обчислювально неефективні для точного обчислення π. Проте вони залишаються важливими у статистичній фізиці та аналізі ризиків для оцінювання багатовимірних інтегралів без замкненої форми.
Графік збіжності відображає поточну оцінку π (зелена лінія) залежно від кількості кидків N по горизонтальній осі. Пунктирна бурштинова лінія при y = 3,14159 позначає справжнє значення. На початку досліду оцінка сильно коливається; зі збільшенням N зелена лінія все ближче наближається до пунктирного орієнтиру. Характерна форма «воронки» — широкі коливання спочатку, вужчі пізніше — є прямою ілюстрацією того, що стандартне відхилення зменшується як 1/√N.
Так. «Локшина Бюффона» (Buffon's Noodle) узагальнює дослід на вигнуту голку тієї самої довжини — і дає ту саму формулу ймовірності. Парадокс Бертрана запитує, яка ймовірність того, що випадкова хорда кола довша за сторону вписаного рівностороннього трикутника, і дає три різні «природних» відповіді залежно від визначення «випадкова хорда». Оцінку π методом Монте-Карло також можна провести, кидаючи точки у квадрат і перевіряючи, чи потрапляють вони у вписану чверть кола (відношення площ π/4).