🌿 Paproć Barnsleya

System funkcji iterowanych to skończony zbiór odwzorowań zwężających na zupełnej przestrzeni metrycznej. Stosowane wielokrotnie i losowo, zgodnie z przypisanymi prawdopodobieństwami, odwzorowania te zbiegają do jednego, ustalonego zbioru zwanego atraktorem. W przypadku paproci Barnsleya cztery odwzorowania afiniczne, każde zwężające przestrzeń, wspólnie tworzą samopodobny kształt paproci jako ich wspólny atraktor.

Wybierz wariant IFS (klasyczna paproć, Thelypteridaceae, drzewiasty IFS lub spiralny IFS) z rozwijanej listy. Przeciągaj po płótnie, aby obracać chmurę punktów 3D, przewijaj, aby powiększać, i użyj suwaka Points, aby zmienić liczbę wykreślanych iteracji gry w chaos w zakresie od 50 do 250 tysięcy. Kolor każdej kropki wskazuje, które z czterech przekształceń ją utworzyło.

Pierwsze przekształcenie (f1) zapada całą płaszczyznę do wąskiej łodygi paproci. Ponieważ łodyga jest niewielką częścią całego kształtu, potrzebuje znacznie mniej punktów niż główne przekształcenie liścia (f2, 85%), które odpowiada za większość blaszki liściowej. Dwa przekształcenia listków (f3 i f4, po 7%) tworzą małe dolne odnogi po obu stronach podstawy.

Każde przekształcenie ma postać xn+1 = a·xn + b·yn + e oraz yn+1 = c·xn + d·yn + f. Klasyczna paproć używa: f1 [a=0, b=0, c=0, d=0,16, e=0, f=0, p=0,01] dla łodygi; f2 [a=0,85, b=0,04, c=-0,04, d=0,85, e=0, f=1,6, p=0,85] dla głównej blaszki; f3 [a=0,2, b=-0,26, c=0,23, d=0,22, e=0, f=1,6, p=0,07] dla lewego listka; oraz f4 [a=-0,15, b=0,28, c=0,26, d=0,24, e=0, f=0,44, p=0,07] dla prawego listka.

Paproć Barnsleya ma wymiar fraktalny Hausdorffa wynoszący około 1,74. Wartość ta leży między 1 (linia) a 2 (wypełniona płaszczyzna), co odzwierciedla fakt, że paproć jest złożoną, samopodobną krzywą, która częściowo wypełnia płaszczyznę, lecz nie jest gęsta w żadnym obszarze 2D.

Barnsley i Alan Sloan założyli firmę Iterated Systems Inc., aby skomercjalizować fraktalną kompresję obrazów (FIC). Idea polega na rozłożeniu dowolnego obrazu na nakładające się, samopodobne obszary i zakodowaniu każdego z nich jako zwężającego przekształcenia afinicznego. FIC osiągało współczynniki kompresji rzędu 100:1 lub więcej i było wykorzystywane w Microsoft Encarta oraz innych encyklopediach na płytach CD-ROM w latach 90.

Gra w chaos to probabilistyczny algorytm wprowadzony przez Michaela Barnsleya w jego książce z 1988 roku „Fractals Everywhere”. Zamiast obliczać atraktor analitycznie, wybierasz losowy punkt startowy i wielokrotnie stosujesz losowo wybrane odwzorowanie zwężające, ważone prawdopodobieństwem. Barnsley udowodnił, że dla niemal każdego punktu startowego orbita ostatecznie odtwarza dokładny atraktor.

Częstym błędnym przekonaniem jest to, że paproć Barnsleya jest biologicznym modelem rzeczywistego gatunku paproci. W rzeczywistości jest to czysto matematyczna konstrukcja. Wizualne podobieństwo do prawdziwej paproci jest zbiegiem okoliczności, który ilustruje, jak proste reguły matematyczne mogą tworzyć naturalnie wyglądającą złożoność — temat centralny dla geometrii fraktalnej.

Obok paproci Barnsleya istnieje wiele naturalnie wyglądających fraktali IFS. Trójkąt Sierpińskiego jest generowany przez trzy odwzorowania zwężające o równym prawdopodobieństwie. Drzewo Pitagorasa wykorzystuje rozgałęziające się odwzorowania IFS do stworzenia samopodobnego drzewa. Krzywe smoka, krzywe Levy'ego C i smok Heighwaya to również atraktory IFS.

Aktywne obszary badań obejmują odwrotny problem IFS — automatyczne znajdowanie optymalnego zestawu odwzorowań afinicznych przybliżających dowolny kształt lub obraz, obecnie rozwiązywane algorytmami genetycznymi i uczeniem głębokim. Naukowcy badają również losowe IFS, gdzie same odwzorowania zmieniają się stochastycznie, prowadząc do „rozmytych” atraktorów o probabilistycznych widmach wymiaru.