Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Teoria kinetyczna: cząstki i temperatura

Teoria kinetyczna opisuje idealny gaz jako N identycznych, punktowych, idealnie sprężystych cząstek, których jedynymi interakcjami są natychmiastowe kolizje z statystycznie niezależnymi wynikami (założenie o "molekularnym chaosie"). Na podstawie jedynie praw Newtona zastosowanych do tego obrazu, twierdzenie ekwiwalentne łączy temperaturę bezwzględną bezpośrednio z średnią energią kinetyczną:

⟨½m·v_x²⟩ = ½·k_B·T // jeden stopień swobody translationalny ⟨E_k⟩ = ½m⟨v²⟩ = 3/2 · k_B·T // trzy stopnie swobody (x,y,z) k_B = 1.380649 × 10⁻²³ J/K // stała Boltzmanna Temperatura, mówiąc wprost, to jedynie makroskopowy zapis księgowy dla mikroskopijnej energii kinetycznej. Względna prawdopodobieństwo zajęcia przez cząstkę stanu o energii E zgodnie z rozkładem Boltzmanna: P ∝ e^(−E/k_BT) — gwałtowny spadek prawdopodobieństwa stanów o wysokiej energii, leżący u podstaw dynamiki chemicznej i równania Arrheniusa, oraz ziarno pełnego rozkładu prędkości poniżej.

⟨½m·v_x²⟩ = ½·k_B·T                    // one translational degree of freedom
⟨E_k⟩ = ½m⟨v²⟩ = 3/2 · k_B·T             // three degrees of freedom (x,y,z)
k_B = 1.380649 × 10⁻²³ J/K               // Boltzmann's constant

Od komponentów Gaussa do rozkładu prędkości

W stanie termicznym bez preferowanego kierunku, każdy składnik prędkości kartezjański jest niezależny i ma rozkład gaussowski o wariancji σ² = k_BT/m:

f(v_x) = √(m/2πk_BT) · exp(−m·v_x²/2k_BT) Prędkość v = |v| jest inną wielkością – iloczynem o znaczeniu, v ≥ 0 – uzyskaną przez całkowanie 3D rozkładu gaussowskiego w kierunkach, traktując przestrzeń prędkości jako zbiór cienkich sferoidalnych powłok o powierzchni 4πv²:

f(v) = 4π · (m/2πk_BT)^(3/2) · v² · exp(−m·v²/2k_BT) 4πv² — objętość sferoidalnej powłoki: więcej kierunków dla wyższych v (m/2πk_BT)^(3/2) — stała normalizacyjna exp(−mv²/2k_BT) — gwałtownie tłumione przez Boltzmann prędkości o dużych wartościach Wyraz v² rosnący i spadek wykładniczy konkurują ze sobą, co prowadzi do charakterystycznego skośnego kształtu symetrycznej lejki, szczyt której znajduje się przy skończonej prędkości, a nie przy zerze.

f(v_x) = √(m/2πk_BT) · exp(−m·v_x²/2k_BT)

Trzy różne charakterystyczne prędkości

Ponieważ rozkład jest skośny, jego tryb, średnia i wartość pierwiaster średniowieczna są to trzy naprawdę różne liczby:

v_p   = √(2k_BT/m)         // most probable — peak of f(v), solve df/dv = 0
⟨v⟩   = √(8k_BT/πm)         // mean speed
v_rms = √(3k_BT/m)          // root-mean-square — the speed relevant to pressure, KE
  ordering:  v_p < ⟨v⟩ < v_rms   (ratio v_p : ⟨v⟩ : v_rms ≈ 1 : 1.128 : 1.225)

Próbkowanie rozkładu: Transformacja Boxa-Mullera

Symulacja dynamiki molekularnej potrzebuje wygenerować losowe prędkości, które już odpowiadają rozkładowi Maxwella-Boltzmanna. Ponieważ każda składowa kartezjańska jest niezależnym rozkładem normalnym Gaussa, transformacja Boxa-Mullera – która przekształca dwie liczby z rozrzutu jednostkowego w dwie niezależne zmienne normalne standardowe – dostarcza dokładnie tego, czego potrzebujemy, przeskalowanego przez σ = √(k_B/T/m):

function boxMuller() {
  const u1 = Math.random(), u2 = Math.random();
  const r = Math.sqrt(-2 * Math.log(u1));
  return [ r*Math.cos(2*Math.PI*u2), r*Math.sin(2*Math.PI*u2) ]; // two N(0,1) samples
}

function sampleVelocity(m, T, kB = 1.380649e-23) {
  const sigma = Math.sqrt(kB * T / m);
  const [gx, gy] = boxMuller(), [gz] = boxMuller();
  return [sigma*gx, sigma*gy, sigma*gz];   // vx, vy, vz — each ~ N(0, sigma^2)
}

Zależność od temperatury i gdzie to ma znaczenie

Podnosząc T, rozszerza się i wygładza f(v) – więcej cząsteczek osiąga wyższe prędkości, a v_p, ⟨v⟩ i v_rms rosną w √T. Jedna z tych krzywych leży u podstaw współczynnika dyfuzji (prawo Grahama), udział cząsteczek o wystarczająco dużej energii, aby przekroczyć barierę aktywacji reakcji (kinetyka chemiczna), oraz uniku atmosferycznego: planeta zatrzymuje gaz tylko wtedy, gdy jej prędkość ucieczki przewyższa komfortowo ogon wysokiej prędkości z rozkładu Maxego-Boltzmanna w danym zakresie temperatur – co doskonale tłumaczy, dlaczego Ziemia zachowała swój tlen i azot, ale straciła większość pierwotnego wodoru i helu.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.