Funkcja Weierstrassa: Krzywa Bez Dotyku W Żadnym Mieście

Krzywa bez nachylenia, wszędzie

Przed 1872 rokiem większość matematyków pracujących przy tym problemie podjęła za grzbiet, że krzywa ciągła — którą można rysować nie podnosząc pióra — musi być prawie wszędzie gładka, z dobrze zdefiniowaną prostopadłościanem w większości punktów, o ile nie ma kilku ostrej krawędzi. André-Marie Ampère nawet próbował udowodnić to w ogólnej formie w 1806 roku. Karl Weierstrass zdemaskował ten intuicyjny pogląd jednym jasno określonym wzorem: funkcją, która jest dowcipnie ciągła na każdym punkcie odcinka rzeczywistego, ale nie ma pochodnej w żadnym z nich.

Konstrukcja to nieskończona suma cosinusów o częstotliwościach geometrycznie rosnących i amplitudzie malejącej — przykładem wcześniejszym tego, co dzisiaj bylibyśmy nazwali fraktalem, kilkanaście lat przed tym, jak Mandelbrot nadał tej słowni znaczenie:

Formuła i warunek dla a, b

W(x) = Ɓ_{n=0}^{n=∞} a^n × cos(b^n π x) warunki (oryginalna wypowiedź Weierstrassa z 1872 roku): 0 < a < 1 b jest nieparzystym liczbą dodatnią a*b > 1 + σ/2 ≈ 5.712... wtedy W jest ciągła wszędzie, różniczkowalna nigdzie. Każdy z osobnych wyrazów a^n·cos(b^nπx) to idealnie gładka welle sinusoidalna, tylko bardzo drga dla dużych n — b^n rośnie częstotliwość eksponencjalnie podczas gdy a^n zmniejsza amplitudę, i ponieważ a < 1 suma zbiega się jednostajnie, co dokładnie gwarantuje, że funkcja graniczna W jest ciągła. Subtelność polega na tym, że

W(x) = sum_{n=0}^{infinity}  a^n * cos(b^n * pi * x)

conditions (Weierstrass's original 1872 statement):
  0 < a < 1
  b is a positive odd integer
  a*b > 1 + 3*pi/2   ≈ 5.712...

then W is continuous everywhere, differentiable nowhere.

Dlaczego różniczkowalność nie zachodzi nigdzie

Intuicyjnie: aby funkcja była różniczkowalna w punkcie, iloraz różnicowy (f(x+h)−f(x))/h musi ustąpić do skończonego granicznego wartości przy zanikaniu h. Ale na każdym poziomie skali h, jakiś wyraz w sumie Weierstrassa oscyluje dokładnie na tej samej skali — ponieważ częstotliwości b^n obejmują każdą rzęd magnetyzmu — a jego nachylenie odmawia zniknięcia ani stabilizacji w porównaniu do innych. Przybliżenie się do wykresu w dowolnym punkcie i dowolnej skali powiększenia, nadal znajdziesz nowe ostre drgań zamiast krzywej przypominającej przybliżoną prostą, która jest geometrycznym oznakiem „tutaj nie istnieje styczna".

Samowspodobna struktura i wymiar fraktalny

Wykres W jest samowspodobny: skaliując oś x o czynnik b i oś y o czynnik 1/a jednocześnie, wykres mapuje się z powrotem na (przesuniętą kopię) samego siebie, ponieważ dokładnie to samo robi przesunięcie indeksu sumowania o jedno. Ta samowspodobność na różnych skalach jest powodem dla którego krzywa wygląda statystycznie taka sama, czytelnik może patrzeć na nią w normalnej skali lub z dwostronnie uśrednionym poziomem — to charakterystyczne widoczne cechy fraktału. Wykres tej krzywej ma wymiar fraktalny obliczony metodą liczenia kwadratów (fraktalnego) równy 2 + log(a)/log(b), który jest stricte między wymiarem 1 liscie glissette a wymiarem 2 obszaru wypełnionego.

Punkt wykrzyknikowy dla rigorzu w analizie

Przykład Weierstrassa pojawił się dokładnie wtedy, gdy matematycy próbowali postawić kalkulus na solidne podstawy epsilon-delta zamiast intuicyjnej przestrzennego rozumowania. Dowiódł on, że takie intuicyjne rozumowanie może być całkowicie nieprawidłowe. Często cytowany jest jako decydujący impuls, który przekształcił analizę rzeczywistą w dana dziedziny naukową opartą na dokładnych dowodach — przypomnienie, że „obwieszczane” geometryczne stwierdzenia dotyczące ciągłości i gładkości potrzebują prawdziwych dowodów, ponieważ podobne do tego paradoxalne przykłady kryją się w tajemnicach.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Weierstrass Nowhere-Differentiable Function i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.