🌊 Convection de Bénard

Elle utilise la formulation fonction de courant-vorticité des équations de Navier-Stokes 2D avec l'approximation de Boussinesq. La température et la vorticité sont advectées avec un schéma semi-lagrangien, diffusées explicitement, et la fonction de courant est recalculée à chaque pas en résolvant ∇²ψ = -ω par surrelaxation successive.

En dessous du nombre de Rayleigh critique, la viscosité et la diffusion thermique effacent toute petite perturbation avant qu'elle ne puisse croître, si bien que la chaleur se déplace uniquement par conduction. Au-delà du seuil, la force de flottabilité l'emporte, les minuscules perturbations s'amplifient, et la couche se réorganise en un mouvement convectif stable. Il s'agit d'un exemple classique d'instabilité hydrodynamique et de bifurcation fourche.

Au lieu de suivre directement la pression et deux composantes de vitesse, l'écoulement est décrit par la vorticité ω (rotation locale) et une fonction de courant ψ dont les gradients donnent la vitesse. Cela impose automatiquement l'incompressibilité et élimine la pression des équations, ce qui rend cette formulation pratique pour des simulations 2D comme celle-ci.

Les flèches de vitesse indiquent la direction locale et la vitesse relative du fluide, révélant la circulation à l'intérieur de chaque rouleau. L'option lignes de courant trace des contours de la fonction de courant ψ ; le fluide s'écoule le long de ces lignes, si bien que les boucles fermées délimitent les cellules de convection sans se croiser.

Elle capture correctement la physique qualitative : la transition conduction-convection, les rouleaux contra-rotatifs, et la dépendance à la flottabilité, la viscosité et la diffusivité. Cependant, la grille est grossière, les valeurs des curseurs sont mises à l'échelle plutôt qu'exprimées en unités SI réelles, et elle est bidimensionnelle, ce qui en fait un outil pédagogique plutôt qu'un solveur de niveau recherche.

Perturber injecte de petites fluctuations aléatoires de température à l'intérieur de la couche. Près ou au-delà du seuil d'instabilité, ces germes croissent et peuvent déclencher de nouvelles cellules de convection ou réorganiser le motif existant, vous laissant observer le système sélectionner une nouvelle structure d'écoulement à partir du bruit.

La même instabilité entraîne la granulation à la surface du Soleil, les rues de nuages et les courants ascendants des orages dans l'atmosphère, la circulation thermohaline dans les océans, et la convection lente du manteau terrestre qui déplace les plaques tectoniques. Henri Bénard a observé les cellules pour la première fois en 1900 et Lord Rayleigh a expliqué le critère en 1916.

La plaque inférieure est maintenue chaude à T = 1 et la plaque supérieure froide à T = 0, fixant la chute de température à travers la couche. Les plaques sont des parois rigides sans glissement, imposées via la relation de paroi standard sur la vorticité, tandis que la direction horizontale est traitée comme périodique afin que les rouleaux puissent boucler autour du domaine.