🎛️ Régulateur PID

Le terme proportionnel Kp·e réagit à l'erreur actuelle et fournit l'essentiel de la correction immédiate, mais un régulateur P seul se stabilise avec une erreur permanente en régime établi car il a besoin d'une erreur résiduelle pour continuer à produire une sortie. Le terme intégral Ki·∫e·dt accumule l'erreur passée dans le temps et ramène cette erreur en régime établi à zéro, au prix d'un dépassement supplémentaire et d'une réponse plus lente si le gain est trop élevé. Le terme dérivé Kd·de/dt réagit à la vitesse de variation de l'erreur, amortissant les oscillations et accélérant l'établissement, mais il amplifie aussi le bruit de mesure, ce qui explique pourquoi cette simulation propose une option de bruit.

L'emballement de l'intégrateur se produit lorsque l'actionneur sature (atteint sa limite uMin/uMax) alors que l'erreur garde le même signe, ce qui fait croître le terme intégral bien au-delà de ce que le procédé peut réellement utiliser. Quand l'erreur finit par s'inverser, le régulateur doit alors « désaccumuler » cet excès d'intégrale avant de pouvoir réagir, ce qui produit un grand dépassement. La logique anti-emballement de cette simulation gèle la mise à jour de l'intégrale chaque fois que le signal de commande provisoire pousserait davantage vers la saturation dans le même sens que l'erreur existante, de sorte que l'intégrale ne croît que lorsqu'elle peut encore être utile.

Ces quatre valeurs, toutes mesurées automatiquement lorsque vous appuyez sur Étape, résument la réponse indicielle d'une boucle de régulation. Le temps de montée est la durée nécessaire pour que la sortie passe de 10 % à 90 % du chemin vers la nouvelle consigne. Le dépassement est l'ampleur du pic de la sortie au-delà de la cible, exprimée en pourcentage de l'amplitude de l'échelon. Le temps d'établissement est la durée nécessaire pour que la sortie entre et reste dans une bande de 2 % autour de la cible pendant au moins une seconde. L'erreur en régime permanent est l'écart restant entre la consigne et la sortie une fois le régime transitoire dissipé — ramenée vers zéro par le terme intégral.

Le procédé thermique est du premier ordre (τ·dy/dt + (y − ambiante) = gain·u), il ne peut donc s'approcher de sa cible que sans à-coups, sans dépassement naturel de sa part — tout dépassement observé provient uniquement du régulateur. Le chariot-ressort-amortisseur est du second ordre (m·a + c·v + k·x = u), il possède donc sa propre oscillation naturelle et peut dépasser et osciller même avec un régulateur bien réglé. Le procédé de cuve est non linéaire car le débit de sortie dépend de la racine carrée du niveau de liquide (A·dh/dt = arrivée − kSortie·√h), de sorte que sa vitesse de réponse varie avec le niveau de remplissage, ce qui constitue un bon test de la robustesse d'un jeu fixe de gains PID.

La méthode classique de Ziegler-Nichols trouve le gain ultime Ku et la période d'oscillation ultime Tu — le point où une boucle proportionnelle seule est à la limite d'une oscillation entretenue — puis en déduit les gains PID par de simples rapports : Kp = 0,6·Ku, Ki = 1,2·Ku/Tu, Kd = 0,075·Ku·Tu. Le bouton d'auto-réglage ZN de cette simulation utilise des valeurs représentatives de Ku/Tu pour chaque procédé plutôt que d'exécuter un test de relais en direct, puis applique ces mêmes formules classiques pour remplir instantanément les curseurs Kp/Ki/Kd afin que vous puissiez comparer un réglage manuel à la règle du manuel.