🔢 Fracciones Continuas — Las Mejores Aproximaciones Racionales

√2 = [1; 2, 2, 2, 2, …] — una fracción continua periódica con el bloque repetido [2]. Por el teorema de Lagrange, todo irracional cuadrático (raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros) tiene una fracción continua eventualmente periódica, y viceversa. Los convergentes de √2 son 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, … — estas son las razones de los números de Pell, y satisfacen pₙ² − 2qₙ² = ±1 (la ecuación de Pell).

La expansión en fracción continua de un número racional a/b se genera directamente con el algoritmo de Euclides: a = q₀b + r₀, b = q₁r₀ + r₁, r₀ = q₂r₁ + r₂, … Los cocientes q₀, q₁, q₂, … son exactamente los cocientes parciales aₙ de la fracción continua. Esto significa que calcular fracciones continuas y calcular MCD es el mismo algoritmo, y la peor entrada posible para el algoritmo de Euclides son números de Fibonacci consecutivos — de nuevo por la fracción continua de puros unos de φ.

Una fracción continua generalizada permite que los numeradores sean valores distintos de 1: a₀ + b₁/(a₁ + b₂/(a₂ + b₃/(…))). Muchas constantes matemáticas importantes tienen representaciones generalizadas elegantes: π = 4/(1 + 1/(3 + 4/(5 + 9/(7 + 16/…)))) (fórmula de Brouncker, 1655) y e = 2 + 1/(1 + 1/(2 + 2/(3 + 3/(4 + …)))). Estas generalizaciones a menudo convergen más rápido que la fracción continua estándar, pero pierden la propiedad de "mejor aproximación".

Los cocientes parciales de π son [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, …]. El gran valor 292 en la posición 4 explica por qué 355/113 es una aproximación tan excepcionalmente buena: el siguiente convergente usa 355×292 + 333 = 104348 en el numerador, haciendo que el salto en precisión sea enorme. A pesar del extenso cálculo de los cocientes parciales de π, no existe prueba de que estén distribuidos normalmente (este es el problema abierto de si π es un número "normal" en el sentido de las fracciones continuas).

La secuencia de Farey Fₙ es la secuencia ascendente de todas las fracciones reducidas con denominadores ≤ n en [0, 1]. Las fracciones adyacentes a/b y c/d en Fₙ satisfacen la propiedad de la mediante |bc − ad| = 1 y su mediante (a+c)/(b+d) es la siguiente fracción que se inserta a medida que n crece. El árbol de Stern-Brocot, que enumera todos los racionales positivos exactamente una vez, se construye enteramente a partir de mediantes, y el camino hasta cualquier fracción del árbol queda codificado por su expansión en fracción continua — las ramas hacia la izquierda corresponden a los cocientes parciales.

Al diseñar un tren de engranajes para lograr una relación de velocidad precisa, las fracciones continuas encuentran la aproximación con el menor número de dientes dentro de un error especificado. Por ejemplo, para aproximar la razón 1 año/1 día ≈ 365.24219, los convergentes 4/1 (aproximado), 29/8 (mejor), 97/27, 365/100 sugieren combinaciones de engranajes prácticas. Los relojes astronómicos y orreries antiguos usaban el análisis de fracciones continuas para elegir números de dientes que mantuvieran el calendario mecánico sincronizado con el año solar durante décadas.