🔢 Fractions Continues — Meilleures Approximations Rationnelles

√2 = [1; 2, 2, 2, 2, …] — une fraction continue périodique avec le bloc répétitif [2]. Selon le théorème de Lagrange, tout irrationnel quadratique (racine d'une équation quadratique à coefficients entiers) a une fraction continue finalement périodique, et réciproquement. Les convergents de √2 sont 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, … — ce sont les rapports des nombres de Pell, et ils satisfont pₙ² − 2qₙ² = ±1 (l'équation de Pell).

Le développement en fraction continue d'un nombre rationnel a/b est généré directement par l'algorithme d'Euclide : a = q₀b + r₀, b = q₁r₀ + r₁, r₀ = q₂r₁ + r₂, … Les quotients q₀, q₁, q₂, … sont exactement les quotients partiels aₙ de la fraction continue. Cela signifie que calculer des fractions continues et calculer des PGCD sont le même algorithme, et l'entrée dans le pire des cas pour l'algorithme d'Euclide est constituée de nombres de Fibonacci consécutifs — de nouveau à cause de la fraction continue faite entièrement de 1 de φ.

Une fraction continue généralisée permet aux numérateurs de prendre des valeurs autres que 1 : a₀ + b₁/(a₁ + b₂/(a₂ + b₃/(…))). De nombreuses constantes mathématiques importantes ont d'élégantes représentations en fraction continue généralisée : π = 4/(1 + 1/(3 + 4/(5 + 9/(7 + 16/…)))) (formule de Brouncker, 1655) et e = 2 + 1/(1 + 1/(2 + 2/(3 + 3/(4 + …)))). Ces généralisations convergent souvent plus vite que la fraction continue standard mais perdent la propriété de « meilleure approximation ».

Les quotients partiels de π sont [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, …]. La grande valeur 292 en position 4 explique pourquoi 355/113 est une approximation exceptionnellement bonne : le convergent suivant utilise 355×292 + 333 = 104 348 au numérateur, rendant le saut de précision énorme. Malgré un calcul étendu des quotients partiels de π, aucune preuve n'existe qu'ils sont distribués normalement (c'est le problème ouvert de savoir si π est un nombre « normal » au sens des fractions continues).

La suite de Farey Fₙ est la suite croissante de toutes les fractions réduites avec des dénominateurs ≤ n dans [0, 1]. Les fractions adjacentes a/b et c/d dans Fₙ satisfont la propriété de médiante |bc − ad| = 1 et leur médiante (a+c)/(b+d) est la prochaine fraction à insérer à mesure que n croît. L'arbre de Stern-Brocot, qui énumère tous les rationnels positifs exactement une fois, est entièrement construit à partir de médiantes, et le chemin vers n'importe quelle fraction dans l'arbre est encodé par son développement en fraction continue — les branches de gauche correspondent aux quotients partiels.

Lors de la conception d'un train d'engrenages pour obtenir un rapport de vitesse précis, les fractions continues trouvent l'approximation avec le plus petit nombre de dents dans une erreur spécifiée. Par exemple, pour approximer le rapport 1 an/1 jour ≈ 365,24219, les convergents 4/1 (grossier), 29/8 (meilleur), 97/27, 365/100 suggèrent des combinaisons d'engrenages pratiques. Les horloges astronomiques et orreries anciennes utilisaient l'analyse en fraction continue pour choisir des nombres de dents qui maintiennent le calendrier mécanique synchronisé avec l'année solaire pendant des décennies.