🌹 Espirógrafo — Hipotrocoides y Epitrocoides

Un hipotrocoide es trazado por un círculo que rueda dentro de un anillo fijo, usando x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r·t) e y(t) = (R−r)sin(t) − d·sin((R−r)/r·t). Un epitrocoide es trazado por un círculo que rueda fuera de un círculo fijo, usando la misma forma con signos más: x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r·t). Cambiar entre ambos modifica de qué lado de R se sitúa el círculo rodante.

Cambie al modo Epitrocoide, luego fije el radio rodante r igual al radio exterior R y fije también el desplazamiento del lápiz d igual a r. Con r = R y d = r, las ecuaciones del epitrocoide se simplifican a la cardioide clásica, la curva en forma de corazón que también se ve en los patrones de captación de micrófonos y en el bulbo principal del conjunto de Mandelbrot.

El dibujo se repite tras un periodo de 2π·r/mcd(R, r) en el parámetro t. Si R y r comparten un factor común grande, la curva se cierra rápido con pocos bucles; si su máximo común divisor es pequeño, el lápiz debe dar muchas más vueltas antes de que el patrón se una consigo mismo.

Los hipotrocoides tipo rosa aparecen cuando el desplazamiento del lápiz d es igual a R − r y r divide exactamente a R. El número de pétalos equivale entonces a R/r cuando esa razón es impar, o al doble de R/r cuando es par. Pruebe con R = 120, r = 40 y d = 80 para obtener una rosa nítida de tres pétalos.

Cuando d supera a r, el lápiz queda más allá del borde del círculo rodante, así que la curva trazada desarrolla bucles adicionales en lugar de mantenerse suave. Cuando d es igual a r, la curva pasa limpiamente por el centro de la trayectoria rodante, y cuando d es menor que r, toda la curva permanece dentro de un anillo estrecho alrededor del radio R − r.