🌹 Spirographe — Hypotrochoïdes & Épitrochoïdes

Une hypotrochoïde est tracée par un cercle roulant à l'intérieur d'un anneau fixe, en utilisant x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r·t) et y(t) = (R−r)sin(t) − d·sin((R−r)/r·t). Une épitrochoïde est tracée par un cercle roulant à l'extérieur d'un cercle fixe, en utilisant la même forme avec des signes plus : x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r·t). Basculer entre les deux change de quel côté de R se trouve le cercle roulant.

Passez en mode Épitrochoïde, puis réglez le rayon roulant r égal au rayon extérieur R et réglez aussi le décalage du stylo d égal à r. Avec r = R et d = r, les équations de l'épitrochoïde se simplifient en la cardioïde classique, la courbe en forme de cœur également vue dans les diagrammes de captation de microphone et le bulbe principal de l'ensemble de Mandelbrot.

Le dessin se répète après une période de 2π·r/pgcd(R, r) dans le paramètre t. Si R et r partagent un grand facteur commun, la courbe se referme rapidement avec peu de boucles ; si leur plus grand commun diviseur est petit, le stylo doit balayer beaucoup plus de tours avant que le motif ne se rejoigne.

Les hypotrochoïdes en forme de rose apparaissent quand le décalage du stylo d est égal à R − r et que r divise R exactement. Le nombre de pétales est alors égal à R/r quand ce rapport est impair, ou deux fois R/r quand il est pair. Essayez R = 120, r = 40 et d = 80 pour une rose nette à trois pétales.

Quand d dépasse r, le stylo se trouve au-delà du bord du cercle roulant, de sorte que la courbe tracée développe des boucles supplémentaires au lieu de rester lisse. Quand d est égal à r, la courbe passe proprement par le centre du chemin roulant, et quand d est plus petit que r, toute la courbe reste dans un anneau étroit autour du rayon R − r.