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🦠 SIR-Epidemiemodell

SIR-Kompartimentmodell für Epidemien: Partikel, die in einer Box umherprallen, infizieren einander. Verfolge die Epidemiekurve live. Passe Übertragungsrate β, Genesungsrate γ und Impfung an.

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Über das SIR-Epidemiemodell

Diese Simulation erweckt das klassische SIR-Kompartimentmodell als Schwarm sich bewegender Partikel zum Leben, jedes gekennzeichnet als Empfänglich, Infiziert oder Genesen. Wenn ein infiziertes Partikel innerhalb von etwa 16 Pixeln eines empfänglichen driftet, kann eine Übertragung mit einer pro Frame skalierten Wahrscheinlichkeit aus der Übertragbarkeit β auftreten. Infizierte Partikel genesen nach einer exponentiell verteilten Zeit von etwa 1/γ, was die Differentialgleichungen dS/dt = −βSI, dI/dt = βSI − γI, dR/dt = γI widerspiegelt.

Die Regler stellen die Population N, die Übertragbarkeit β, die Genesungsrate γ, die anfängliche Anzahl Infizierter und die Impfabdeckung ein, die Empfängliche vor Beginn des Ausbruchs entfernt. Das R₀-Feld zeigt die Basisreproduktionszahl, und die Live-Kurve zeichnet die Zahlen der Empfänglichen, Infizierten und Genesenen Tag für Tag auf. Genau so denken Epidemiologen über das Abflachen der Kurve, Herdenimmunität und das Abklingen eines Ausbruchs nach.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das SIR-Modell?

SIR ist ein Kompartimentmodell für Infektionskrankheiten, das eine Population in drei Gruppen einteilt: Empfänglich (kann sich anstecken), Infiziert (aktuell ansteckend) und Genesen (immun). Menschen fließen von S zu I zu R, und die Verfolgung, wie sich diese Kompartimente über die Zeit ändern, sagt Form und Größe einer Epidemie voraus.

Wie funktioniert diese Partikelversion?

Jedes Partikel prallt mit konstanter Geschwindigkeit in einer Box umher. Sobald ein empfängliches Partikel innerhalb von etwa 16 Pixeln eines infizierten kommt, kann es sich basierend auf der Übertragbarkeit β infizieren. Infizierte Partikel genesen automatisch nach einer randomisierten Dauer, die an die Genesungsrate γ gekoppelt ist, werden dabei grün und immun.

Was bedeutet die R₀-Zahl?

R₀, die Basisreproduktionszahl, ist die durchschnittliche Anzahl neuer Infektionen, die eine infizierte Person in einer vollständig empfänglichen Population verursacht. Ist R₀ über 1, wächst die Epidemie; unter 1 stirbt sie aus. Die Anzeige wird rot, wenn R₀ 2 oder mehr beträgt, und grün, wenn sie unter 1 fällt.

Was steuern die Regler β und γ?

Die Übertragbarkeit β legt fest, wie leicht eine Infektion bei engem Kontakt übertragen wird, sodass eine Erhöhung den Ausbruch beschleunigt. Die Genesungsrate γ legt fest, wie schnell infizierte Partikel heilen; ein höheres γ bedeutet kürzere ansteckende Perioden. Ihr Verhältnis bestimmt R₀, sodass beide zusammen entscheiden, ob sich die Krankheit ausbreitet oder verebbt.

Wie verändert Impfung das Ergebnis?

Der Impfquote-%-Regler entfernt diesen Anteil der Empfänglichen vor Beginn der Simulation, dargestellt in Violett, und die Schaltfläche „Jetzt impfen" immunisiert Empfängliche während des Laufs. Geimpfte Partikel können nicht infiziert werden, was den empfänglichen Pool verkleinert und die effektive Reproduktionszahl unter 1 drücken kann, was Herdenimmunität erzeugt.

Was ist die Herdenimmunitätsschwelle?

Herdenimmunität wird erreicht, wenn genug der Population immun ist, sodass jede Infektion im Durchschnitt weniger als einen neuen Fall verursacht. Die Schwelle ist 1 − 1/R₀. Für eine Krankheit mit R₀ von 4 braucht man etwa 75% Immunität; für Masern mit R₀ nahe 15 braucht man etwa 93%.

Warum flacht die Epidemiekurve ab oder erreicht einen Höhepunkt?

Anfangs befeuern viele Empfängliche schnelles Wachstum, und die Anzahl der Infizierten steigt auf einen Höhepunkt. Wenn die Empfänglichen knapp werden, können Infektionen die Genesungen nicht mehr überholen, und die Kurve fällt. Das Senken von β oder Impfen reduziert und verzögert den Höhepunkt, was das Ziel von Gesundheitsmaßnahmen ist.

Ist diese Simulation physikalisch genau?

Sie erfasst das qualitative Verhalten der SIR-Gleichungen gut, einschließlich Schwellenwerten, Höhepunkten und Herdenimmunität, ist aber ein Lehrmodell. Reale Bewegung ist gleichmäßig zufällig statt realistischer Mobilität, β wird auf eine Wahrscheinlichkeit pro Frame umskaliert, und die kleinen Partikelzahlen erzeugen mehr zufällige Schwankungen als kontinuierliche reale Populationen.

Was passiert, wenn R₀ unter 1 liegt?

Wenn R₀ unter 1 fällt, gibt jede infizierte Person die Krankheit im Durchschnitt an weniger als eine andere Person weiter, sodass sich die Übertragungskette nicht selbst tragen kann. Die Anzahl der Infizierten sinkt stetig, und der Ausbruch stirbt aus, oft ohne je den Großteil der Population zu erreichen, was das Ziel der Eindämmung ist.

Was ist der Unterschied zwischen SIR und SEIR?

SEIR fügt ein Exponiert-Kompartiment für Personen hinzu, die infiziert, aber noch nicht ansteckend sind, und erfasst so eine Inkubationszeit. Diese Simulation verwendet die einfachere SIR-Struktur, bei der die Infektion sofort erfolgt, aber SEIR wird oft für Krankheiten wie COVID-19 bevorzugt, die eine bedeutsame latente Phase vor Symptomen oder Ansteckungsfähigkeit haben.

Wo wird das SIR-Modell in der realen Welt eingesetzt?

SIR und seine Erweiterungen bilden die Grundlage eines Großteils der modernen Epidemiologie, von der Vorhersage saisonaler Grippe- und Masernausbrüche bis zur Steuerung von Impfzielen und Lockdown-Entscheidungen während Pandemien. Ähnliche Kompartimentmathematik wird auch genutzt, um die Verbreitung von Computerviren, Gerüchten und Produktakzeptanz in Netzwerken zu modellieren.

Partikel verbreiten Infektionen durch physische Nähe. Stelle die Übertragungsrate β, Genesungsrate γ und Impfabdeckung ein und beobachte, wie sich die Reproduktionszahl R₀ und die Epidemiekurve in Echtzeit entwickeln.

🔬 Was es zeigt

SIR-Kompartimentmodell: Empfänglich → Infiziert → Genesen. Die Basisreproduktionszahl R₀ = β/γ bestimmt, ob sich eine Epidemie ausbreitet (R₀ > 1) oder ausstirbt (R₀ < 1).

🎮 Anwendung

Passe β (Übertragungsrate) und γ (Genesungsrate) an. Impfe einen Teil der Population, um Herdenimmunität entstehen zu sehen. Beobachte, wie die Epidemiekurve abflacht.

💡 Wussten Sie schon?

Herdenimmunitätsschwelle = 1 - 1/R₀. Für Masern (R₀ ≈ 15) sind 93% Impfung nötig. Für die saisonale Grippe (R₀ ≈ 1,3) reichen etwa 23%.

⚙ Unter der Haube

Partikel verbreiten Infektionen durch Nähe. Stelle β, γ ein, impfe und beobachte R₀ und die Epidemiekurve in Echtzeit.

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