Ця симуляція оживляє класичну компартментну модель SIR у вигляді рою рухомих частинок, кожна з яких позначена як Сприйнятлива, Інфікована або Одужала. Коли інфікована частинка наближається приблизно на 16 пікселів до сприйнятливої, передача інфекції може статися з покадровою ймовірністю, масштабованою від трансмісивності β. Інфіковані частинки одужують після експоненційно розподіленого часу близько 1/γ, що відображає диференціальні рівняння dS/dt = −βSI, dI/dt = βSI − γI, dR/dt = γI.
Повзунки задають чисельність популяції N, трансмісивність β, швидкість одужання γ, початкову кількість інфікованих та охоплення вакцинацією, яке вилучає сприйнятливих ще до початку спалаху. Поле R₀ показує базове репродуктивне число, а жива крива щодня будує кількість Сприйнятливих, Інфікованих та Одужалих. Саме так епідеміологи міркують про сплощення кривої, колективний імунітет і про те, коли спалах згасне.
Що таке модель SIR?
SIR — це компартментна модель інфекційної хвороби, яка ділить популяцію на три групи: Сприйнятливі (можуть заразитися), Інфіковані (зараз заразні) та Одужалі (мають імунітет). Люди переходять зі стану S у I, а потім у R, і відстеження того, як ці компартменти змінюються з часом, дозволяє передбачити форму та масштаб епідемії.
Як працює ця версія з частинками?
Кожна частинка рухається в межах коробки зі сталою швидкістю, відбиваючись від стінок. Коли сприйнятлива частинка наближається приблизно на 16 пікселів до інфікованої, вона може заразитися залежно від трансмісивності β. Інфіковані частинки автоматично одужують після випадкової тривалості, пов'язаної зі швидкістю одужання γ, стаючи зеленими та набуваючи імунітету.
Що означає число R₀?
R₀, базове репродуктивне число, — це середня кількість нових заражень, спричинених одним інфікованим у повністю сприйнятливій популяції. Якщо R₀ більше за 1, епідемія зростає; якщо менше за 1, вона згасає. Індикатор стає червоним, коли R₀ дорівнює 2 або більше, і зеленим, коли воно падає нижче 1.
Трансмісивність β задає, наскільки легко інфекція передається під час близького контакту, тож її підвищення прискорює спалах. Швидкість одужання γ задає, як швидко інфіковані частинки одужують; більше γ означає коротші заразні періоди. Їхнє співвідношення визначає R₀, тож разом вони вирішують, чи хвороба пошириться, чи згасне.
Повзунок Вакцинація % вилучає відповідну частку сприйнятливих ще до початку симуляції, показуючи їх фіолетовим, а кнопка Вакцинувати зараз імунізує сприйнятливих посеред перебігу. Вакциновані частинки не можуть заразитися, що зменшує пул сприйнятливих і може опустити ефективне репродуктивне число нижче 1, створюючи колективний імунітет.
Колективного імунітету досягнуто, коли достатня частина популяції має імунітет, тож кожне зараження в середньому спричиняє менше одного нового випадку. Поріг становить 1 − 1/R₀. Для хвороби з R₀ рівним 4 потрібно близько 75% імунних; для кору з R₀ близько 15 потрібно приблизно 93%.
На початку численні сприйнятливі живлять швидке зростання, і кількість інфікованих піднімається до піку. Коли сприйнятливих стає мало, зараження вже не можуть випереджати одужання, і крива спадає. Зниження β або вакцинація зменшують і відтерміновують пік — саме цього прагнуть досягти заходи громадського здоров'я.
Вона добре передає якісну поведінку рівнянь SIR, зокрема пороги, піки та колективний імунітет, але це навчальна модель. Реальний рух є рівномірно випадковим, а не реалістичною мобільністю, β перераховується у покадрову ймовірність, а невелика кількість частинок дає більше випадкових коливань, ніж неперервні популяції реального світу.
Коли R₀ падає нижче 1, кожен інфікований у середньому передає хворобу менше ніж одній особі, тож ланцюг передачі не може себе підтримувати. Кількість інфікованих неухильно зменшується, і спалах згасає, часто навіть не охопивши більшість популяції — саме це є метою стримування.
SEIR додає компартмент Експоновані для людей, які заразилися, але ще не стали заразними, що відображає інкубаційний період. Ця симуляція використовує простішу структуру SIR, де зараження є миттєвим, але SEIR часто є кращим вибором для хвороб на кшталт COVID-19, що мають суттєву латентну фазу перед симптомами чи заразністю.
SIR та її розширення лежать в основі значної частини сучасної епідеміології — від прогнозування спалахів сезонного грипу та кору до визначення цілей вакцинації та рішень про локдауни під час пандемій. Подібна компартментна математика також запозичується для моделювання поширення комп'ютерних вірусів, чуток та поширення продуктів у мережах.
Класична математична модель епідемій: S (сприйнятливі), I (заражені), R (одужали). Три рівняння описують, як хвороба поширюється і згасає через популяцію.
Потік між рівняннями: Сприйнятливі → Заражені (через контакт, ставка β) → Одужали (через одужання, ставка γ). Базове репродуктивне число R₀ = β/γ. Якщо R₀ > 1 — епідемія; якщо < 1 — загасання.
Регулюйте ставки зараження β і одужання γ. Змінюйте початковий відсоток заражених. Перегляньте пікову заражуваність і загальну кількість заражених. Спробуйте різні сценарії: від мору до контрольованого спалаху.
Поріг колективного імунітету (1 − 1/R₀) дає мінімальний відсоток імунних для зупинки поширення. Для кору (R₀ ≈ 15) потрібно ~93% імунних. Для початкового COVID-19 (R₀ ≈ 2,5) — ~60%.