🦠 Epidemie in einem Netzwerk

SIR unterteilt eine Population in drei Kompartimente: Suszeptibel (nie infiziert), Infiziert (derzeit ansteckend) und Genesen (immun). Bei jedem Zeitschritt kann jede infizierte Person mit Wahrscheinlichkeit β auf suszeptible Nachbarn übertragen und mit Wahrscheinlichkeit γ genesen. Die Einfachheit macht es zum Fundament der mathematischen Epidemiologie, genutzt für Grippe-, Masern- und COVID-19-Modellierung gleichermaßen.

Ein Superspreader ist eine Person, die deutlich mehr Sekundärinfektionen verursacht als der Durchschnitt. In einem Kontaktnetzwerk entsprechen Superspreader typischerweise Knoten mit hohem Grad — Personen mit vielen sozialen Kontakten. Sie beschleunigen die Ausbruchszündung, erzeugen große Cluster von Sekundärfällen und sind vorrangige Ziele für Impfung oder Quarantänemaßnahmen.

R₀ (die Basisreproduktionszahl) ist die erwartete Anzahl von Sekundärinfektionen, die ein einzelner Fall in einer vollständig suszeptiblen Population verursacht. Wenn R₀ > 1, wächst die Epidemie exponentiell; wenn R₀ < 1, stirbt sie aus. In einem Netzwerk entspricht R₀ näherungsweise β mal durchschnittlicher Grad geteilt durch γ. Eine Verringerung von β (z. B. Masken) oder γ (schnellere Genesung) senkt R₀ direkt.

Ein skalenfreies Netzwerk hat eine Gradverteilung, die einem Potenzgesetz folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten k Verbindungen hat, ist proportional zu k hoch einem negativen Exponenten. Wenige Knotenpunkte haben sehr viele Verbindungen, während die meisten Knoten wenige haben. Diese Topologie entsteht natürlich durch präferenzielle Verknüpfung — neue Mitglieder schließen sich sozialen Netzwerken an, indem sie sich mit bereits populären Mitgliedern verbinden — und findet sich im Internet, in Zitationsnetzwerken und in realen Kontaktmustern.

In einem gut durchmischten Modell wird angenommen, dass alle Personen gleich wahrscheinlich aufeinandertreffen. In einem heterogenen Netzwerk fungieren die Knotenpunkte als Brücken, die die Population abkürzen und es der Krankheit ermöglichen, schnell über entfernte Cluster zu reisen. Skalenfreie Netzwerke haben für viele Krankheitsparameter keine Epidemieschwelle, das heißt, selbst eine sehr geringe Übertragungswahrscheinlichkeit kann letztlich das gesamte Netzwerk befallen, wenn Knotenpunkte nicht entfernt oder immunisiert werden.

Für ein zufälliges Netzwerk liegt die Epidemieschwelle bei R₀ = 1. Für ein skalenfreies Netzwerk mit dem für soziale Kontakte typischen Exponenten nähert sich die Schwelle mit wachsender Netzwerkgröße null, weil das Verhältnis von Varianz zu mittlerem Grad divergiert. In der Praxis bedeutet dies, dass manche Erreger mit geringer Übertragbarkeit, die in einer homogenen Population aussterben würden, in skalenfreien Kontaktnetzwerken dennoch große Ausbrüche verursachen können.

Das Entfernen oder Impfen der obersten paar Prozent der Knoten mit dem höchsten Grad zerstört die kurzen Wege zwischen Clustern und erhöht die effektive Epidemieschwelle. Diese gezielte Immunisierung ist weit effizienter als zufällige Impfung: Der Schutz von 5 % der Knotenpunkte kann die Spitzeninfektionen um über 50 % senken, während zufällige Impfung 60–70 % Abdeckung benötigt, um im selben Netzwerk Herdenimmunität zu erreichen.

Das Diagramm zeigt die Anteile der Bevölkerung in jedem SIR-Kompartiment über die simulierten Tage: Blau für suszeptibel, Rot für infiziert und Grün für genesen. Die Infiziertenkurve zeigt typischerweise eine charakteristische Glockenform — den Epidemie-Höhepunkt — gefolgt von einem Rückgang, während Suszeptible erschöpft werden und Genesene sich ansammeln. Die Fläche unter der Infiziertenkurve stellt die gesamte Krankheitslast dar.

Die Simulation beginnt mit einer kleinen Anfangs-Clique von Knoten. Jeder neue Knoten tritt bei und bildet m Kanten, wobei bestehende Ziele mit einer zu ihrem aktuellen Grad proportionalen Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden (präferenzielle Verknüpfung). Dieser „Reicher-wird-reicher“-Mechanismus erzeugt natürlich die für reale soziale, biologische und technologische Netzwerke charakteristische Potenzgesetz-Gradverteilung.

Ein niedrigeres β simuliert physische Distanzierung oder Maskennutzung. Verringere die Netzwerkgröße und beobachte, wie kleine isolierte Gemeinschaften die Ausbreitung verlangsamen. Wechsle zu einem Zufallsnetzwerk, um zu sehen, wie homogene Konnektivität die Ausbruchsdynamik im Vergleich zur skalenfreien Topologie verändert. Da Superspreader zuerst infiziert werden, zeigt ein Neustart der Simulation, wie eine frühe Knotenpunkt-Infektion die endgültige Epidemiegröße bestimmt.