⚡ Kirchhoffsche Gesetze — Schaltungsanalyse-Simulator

Eine Schaltung mit zwei Maschen kann entweder mit Maschenanalyse oder Knotenanalyse gelöst werden. Bei der Maschenanalyse werden jeder Masche Maschenströme I1 und I2 zugewiesen, dann wird KVL angewendet: für Masche 1: V1 = I1·R1 + (I1−I2)·R2; für Masche 2: 0 = I2·R3 + (I2−I1)·R2. Umgeformt in Matrixform und gelöst durch Gauß-Elimination. Die Knotenanalyse findet die Spannung am internen Knoten mittels KCL und berechnet dann jeden Zweigstrom. Dieser Simulator verwendet MNA, das beide Methoden automatisch durch seine Matrixformulierung abdeckt.

Eine Wheatstonesche Brücke hat vier Widerstände in Rautenform, mit einer Spannungsquelle über einer Diagonale und einem Messgerät über der anderen. Sie ist abgeglichen, wenn R1/R2 = R3/R4, äquivalent R1·R4 = R2·R3 — unter dieser Bedingung fließt kein Strom durch den Galvanometerzweig, und die Brückenspannung ist genau null. Die Abgleichbedingung erlaubt es, einen unbekannten Widerstand aus drei bekannten zu bestimmen. Wheatstonesche Brücken werden in Dehnungsmessstreifen, Thermistoren und Präzisionsinstrumenten eingesetzt und erreichen Genauigkeiten besser als 0,1 %.

Die Knotenanalyse (basierend auf KCL) löst nach Knotenspannungen als primären Unbekannten, wobei eine Gleichung pro Nicht-Referenzknoten geschrieben wird. Sie ist effizient, wenn es viele Knoten, aber wenige Spannungsquellen gibt. Die Maschenanalyse (basierend auf KVL) löst nach Maschenströmen, wobei eine Gleichung pro unabhängiger Masche geschrieben wird. Sie ist effizient, wenn es viele Maschen, aber wenige Stromquellen gibt. Bei planaren Schaltungen entspricht die Zahl der Maschengleichungen B − N + 1 (Zweige minus Knoten plus eins). MNA kombiniert beide in einer einheitlichen Matrixformulierung, die von SPICE-basierten Simulatoren verwendet wird.

KVL gilt gleichermaßen für nicht-planare Schaltungen — die Spannungssumme entlang einer beliebigen geschlossenen Masche ist immer null, unabhängig davon, ob die Schaltung ohne Kreuzung von Leitungen gezeichnet werden kann. Nicht-planare Schaltungen können die Maschenanalyse nicht direkt verwenden, da planare Maschen nicht identifiziert werden können. Stattdessen müssen Knotenanalyse oder MNA verwendet werden, da KCL an jedem Knoten rein topologisch ist und nicht von der Planarität abhängt. Die minimale Anzahl unabhängiger KVL-Gleichungen für eine beliebige Schaltung ist B − N + 1, unabhängig von der Planarität.

Ein Superknoten entsteht, wenn eine ideale Spannungsquelle zwei Nicht-Referenzknoten verbindet. Da die Spannungsquelle eine feste Spannungsdifferenz zwischen ihren Anschlüssen erzwingt, ist der Strom durch sie unbekannt — eine KCL-Gleichung allein mit Leitwerten kann nicht aufgestellt werden. Die Lösung besteht darin, beide Knoten als einen einzigen kombinierten Superknoten zu behandeln: KCL für die kombinierte Einheit aufstellen (alle externen Ströme = 0) und die Spannungsbedingung V_a − V_b = V_Quelle hinzufügen. Dies ergibt einen vollständigen Satz unabhängiger Gleichungen. MNA behandelt Superknoten automatisch über die Untermatrizen B und C.

Gesteuerte (abhängige) Quellen fügen Terme hinzu, die auf andere Schaltungsvariablen verweisen. Eine spannungsgesteuerte Stromquelle (VCCS) mit Steilheit g_m speist einen Strom g_m·V_ctrl ein und fügt der G-Matrix nichtdiagonale Einträge hinzu. Eine stromgesteuerte Spannungsquelle (CCVS) fügt eine neue Unbekannte (ihren Strom) und eine neue Gleichung (ihre Spannungsbedingung) hinzu. In der MNA werden alle vier Typen — VCCS, VCVS, CCCS, CCVS — durch Erweiterung der Untermatrizen B, C, D berücksichtigt, wodurch die dünnbesetzte Struktur erhalten bleibt, die für eine effiziente Simulation erforderlich ist.

Das Überlagerungsprinzip besagt, dass in einer linearen Schaltung mit mehreren unabhängigen Quellen die Antwort an jedem Element gleich der Summe der Antworten ist, die von jeder Quelle allein erzeugt werden, wobei alle anderen Quellen durch ihre Innenimpedanzen ersetzt werden (Spannungsquellen → Kurzschluss, Stromquellen → Leerlauf). Die Überlagerung vereinfacht die Analyse, wenn Quellen unterschiedliche Frequenzen haben (z. B. gemischte AC+DC-Schaltungen). Sie gilt nicht für Leistungsberechnungen, da Leistung nichtlinear ist (P = I²R), und auch nicht für Schaltungen mit nichtlinearen Elementen wie Dioden oder Transistoren.