Безмасова пробна частинка рухається під дією гравітації двох масивних тіл (маси 1−μ та μ), що обертаються навколо барицентру по колових орбітах. У коротаційній системі відліку виникають п'ять точок рівноваги Лагранжа: три колінеарні сідлові точки (L1–L3) та дві стійкі трикутні точки (L4, L5).
Ефективний потенціал:
U* = -(x²+y²)/2 - (1-μ)/r₁ - μ/r₂
Рівняння руху (коротаційна система):
ẍ - 2ẏ = ∂U*/∂x
ÿ + 2ẋ = ∂U*/∂y
Інтеграл Якобі (зберігається):
C_J = 2·U*(x,y) - (ẋ²+ẏ²)
r₁ = √((x+μ)²+y²) [відстань до m₁]
r₂ = √((x-1+μ)²+y²) [відстань до m₂]
Телескоп JWST обертається в точці L2 системи Сонце–Земля, на відстані 1,5 млн км від Землі. Троянські астероїди скупчуються у точках L4 та L5 Юпітера і налічують понад мільйон об'єктів розміром більше 1 км. Перетікання маси через точку L1 у подвійних зорях є причиною вибухів нових і наднових типу Ia.
Що таке обмежена задача трьох тіл?
Обмежена задача трьох тіл розглядає рух безмасової пробної частинки під гравітаційним впливом двох масивних тіл, які обертаються навколо спільного центру мас по колових орбітах. Оскільки маса пробної частинки нехтовно мала, вона не впливає на рух первинних тіл, що суттєво спрощує рівняння, зберігаючи при цьому багату динамічну складність, включаючи хаос.
Що таке точки Лагранжа L1–L5?
Точки Лагранжа — це п'ять положень рівноваги в коротаційній системі відліку, де результуюча ефективна сила на пробну частинку дорівнює нулю. L1, L2 та L3 лежать на лінії, що з'єднує обидва тіла, і є нестійкими. L4 та L5 утворюють рівносторонні трикутники з первинними тілами і є стійкими при малих відношеннях мас, що пояснює існування троянських астероїдів Юпітера.
Що таке інтеграл Якобі і чому він зберігається?
Інтеграл Якобі C_J = 2U*(x,y) − v² є збереженою величиною в обмеженій задачі трьох тіл, де U* — ефективний потенціал в системі, що обертається, а v — швидкість частинки. Він зберігається, оскільки гамільтоніан у системі відліку, що обертається, не залежить від часу. Стала Якобі визначає, які ділянки простору доступні для частинки.
Криві нульової швидкості — це ізолінії ефективного потенціалу U*, на яких частинка з заданою сталою Якобі C_J мала б нульову кінетичну енергію. Вони визначають межі заборонених областей. Коли C_J дорівнює потенціалу в точці L1, внутрішня порожнина Роша відкривається і стає можливим перетікання речовини між двома тілами.
Порожнина Роша — це область навколо кожної зірки, де речовина гравітаційно пов'язана з нею у коротаційній системі відліку. Дві порожнини стикаються в точці L1. Коли зірка, що еволюціонує, заповнює свою порожнину Роша, речовина перетікає через L1 на супутника — цей механізм є ключовим для катаклізмічних змінних та рентгенівських подвійних зір.
Рівняння руху є нелінійними і не мають загального аналітичного розв'язку. Навіть в обмеженому випадку траєкторії поблизу сідлових точок L1, L2, L3 є експоненційно нестійкими. Малі відмінності у початкових умовах призводять до траєкторій, що розходяться з часом по експоненті, — характерна ознака хаосу з додатними показниками Ляпунова.
Симуляція використовує класичний метод Рунге–Кутти четвертого порядку (RK4), який забезпечує локальну похибку O(h⁵) за крок. Інтеграл Якобі слугує вбудованим індикатором точності: добре проінтегрована траєкторія має зберігати C_J в межах малого допуску. Для довгострокових орбітальних розрахунків перевагу надають симплектичним інтеграторам.
Параметр μ = m₂/(m₁+m₂) — єдиний вільний параметр задачі (в одиницях, де повна маса і орбітальна відстань рівні 1). Змінюється від 0 до 0,5. Приклади: Земля–Місяць μ ≈ 0,0121, Сонце–Юпітер μ ≈ 0,000953. Подвійні зірки з рівними масами (μ = 0,5) мають симетричні порожнини Роша.
Коротаційна система обертається з тією самою кутовою швидкістю, що і первинні тіла, тому вони виглядають нерухомими. Натомість виникають дві фіктивні сили: відцентрова і коріолісова. Вони включаються в ефективний потенціал U* та членів зв'язку в рівняннях руху: ẍ−2ẏ та ÿ+2ẋ.
Обмежена задача трьох тіл описує: рух астероїдів у системі Сонце–Юпітер (прогалини Кірквуда, троянські астероїди); траєкторії космічних апаратів (JWST у L2, SOHO у L1); перетікання маси в подвійних зірках; стійкість супутників подвійних астероїдів; а також приливне руйнування зоряних скупчень поблизу ядер галактик.