Створюйте красиве геометричне мистецтво за допомогою дзеркал і симетрії. Рухайте мишею для зміни патерну — дієдральні групи симетрій Dₙ у дії.
Калейдоскопи створюють n-кратну симетрію обертання, розміщуючи дзеркала під кутом 180°/n. Це група дієдральної симетрії Dₙ. Будь-який асиметричний патерн, відбитий n разів, виглядає ідеально симетричним.
Рухайте мишею над областю введення: ліве поле генерує вихідний патерн, що відображений у правому калейдоскопі. Використовуйте повзунки для зміни кількості дзеркал і кутів.
Перший патент на калейдоскоп було видано Девіду Брюстеру у 1817 році в Лондоні. Найвражаючіші природні «калейдоскопи» — сніжинки: всі мають 6-кратну симетрію, але жодні дві не однакові.
Цей калейдоскоп повністю працює на вашому GPU у вигляді GLSL-фрагментного шейдера. Кожен піксель перетворюється на полярні координати навколо центру, яким можна керувати вказівником, після чого його кут згортається в один клин розміром 2π/N і дзеркально відбивається відносно межі клина. Це згортання відтворює точну дієдральну симетрію — N обертань у поєднанні з N дзеркальними відбиттями, групу симетрії, яку математики називають DN. Усередині клина шейдер вибирає анімований процедурний вихідний патерн (шум із деформацією простору, обертальні фігури або спектральні смуги), тож коштовний візерунок постійно змінюється та перефарбовується в реальному часі.
Дієдральна симетрія трапляється всюди в природі та мистецтві: вона визначає шестикратну структуру сніжинок, розетки готичних вітражних вікон, ісламське геометричне мозаїчне оздоблення та багато квітів. Математична відмінність, яку симуляція робить наочною, — це різниця між циклічною групою CN (чисті обертання) та повною дієдральною групою DN — додавання лише одного дзеркального відбиття подвоює симетрію і створює характерний вигляд калейдоскопа. Фізичну іграшку винайшов шотландський фізик сер Девід Брюстер у 1816 році, чиї кутові дзеркала реалізують ту саму групу симетрії оптично.
Що це за симуляція калейдоскопа?
Це інструмент генеративного мистецтва на основі GPU, який згортає анімований барвистий патерн у ідеальну N-кратну дзеркальну симетрію, відтворюючи вигляд класичного калейдоскопа з регульованою кількістю складок, вихідним патерном і кольоровою палітрою.
Що таке дієдральна симетрія?
Дієдральна симетрія, що позначається DN, поєднує N обертань з N дзеркальними відбиттями. Калейдоскоп створює її, згортаючи кут кожного пікселя в один клин, а потім відбиваючи його, тож одне вихідне зображення дзеркально відображається у симетричний патерн.
Як користуватися елементами керування?
Оберіть кількість складок від 2 до 24, налаштуйте швидкість і масштаб, виберіть вихідний патерн (шум, фігури чи спектр) і палітру, а також рухайте вказівником над полотном, щоб керувати центром симетрії. Пауза та скидання доступні будь-коли.
Для клина розміром w = 2π/N кут згортається в діапазон двох клинів, а потім береться абсолютне значення його відстані від межі клина. Саме цей крок з абсолютним значенням є дзеркальним відбиттям, яке перетворює чисте обертання на повну дієдральну симетрію.
Число складок N визначає, скільки дзеркальних клинів утворюють патерн. Складка 6 дає шестикратну симетрію, як у сніжинки, тоді як вищі значення, наприклад 12 чи 24, створюють щільніші, складніші мандали.
Процедурний вихідний патерн усередині клина анімується змінною часу, повільно обертаючись, зміщуючись і масштабуючись. Оскільки згортання симетрії застосовується кожного кадру, цей рух відображається дзеркально в усіх клинах, тож уся мандала безперервно мерехтить.
Шум із деформацією простору створює органічні, хмароподібні коштовності; обертальні фігури утворюють геометричні пелюстки та крапки; а спектральні смуги розходяться кольоровими кільцями назовні. Кожен вибирається у згорнутій координаті, тож успадковує симетрію калейдоскопа.
Фрагментний шейдер обчислює колір кожного пікселя паралельно на відеокарті. Це дозволяє повноекранному калейдоскопу високої роздільної здатності плавно анімуватися з частотою 60 кадрів за секунду, що було б значно повільніше на CPU.
Іграшковий калейдоскоп винайшов шотландський фізик сер Девід Брюстер у 1816 році та запатентував у 1817 році. Його назва походить від грецьких слів, що означають «спостерігач прекрасних форм».
Та сама дієдральна симетрія формує сніжинки, пелюстки квітів, розетки вітражних вікон та ісламські геометричні мозаїки, роблячи калейдоскоп вікном у патерн, що повторюється в природі та дизайні.