Y = Kα(AL)1−α — спостерігайте збіжність капіталу на одного ефективного працівника до стаціонарного стану
Модель Солоу-Свана (Роберт Солоу та Тревор Сван, 1956) — основа сучасної макроекономіки. Ефективний капітал на одного працівника k̃ = K/(AL) змінюється так: dk̃/dt = s·f(k̃) − (δ+g+n)·k̃, де f(k̃) = k̃α — виробнича функція Кобба-Дугласа в інтенсивній формі.
Стаціонарний стан k* — там, де інвестиції s·f(k̃) точно покривають «зносу на розширення» (δ+g+n)·k̃. Нижче k* економіка зростає; вище — скорочується, що гарантує збіжність. Золоте правило вказує оптимальну норму заощаджень, що максимізує споживання у стаціонарному стані: sgold = α (частка капіталу).
Лівий графік показує часові ряди y, k та c = (1−s)y на ефективного працівника. Права фазова діаграма показує криву sf(k̃) (фактичних інвестицій) та лінію (δ+g+n)k̃ (беззбиткового рівня); їхній перетин — k*.
Ця інтерактивна модель відтворює теорію довгострокового зростання Солоу-Свана. Вона чисельно інтегрує рівняння руху ефективного капіталу на одного працівника, dk̃/dt = s·k̃^α − (δ+g+n)·k̃, просуваючи час кроками по півроку та будуючи графіки випуску, капіталу й споживання на працівника, доки вони не встановляться у стаціонарному стані k*. Права фазова діаграма накладає криву фактичних інвестицій sf(k̃) на лінію беззбитковості (δ+g+n)k̃, тож ви бачите, чому саме капітал збігається.
Накопичення капіталу за виробничою функцією Кобба-Дугласа f(k̃)=k̃^α. Панель часових рядів малює випуск y, капітал k та споживання c=(1−s)y на одного ефективного працівника, тоді як фазова діаграма показує, де інвестиції sf(k̃) перетинають лінію беззбитковості (δ+g+n)k̃ — їхній перетин і є стаціонарним станом k*.
Перетягуйте п’ять повзунків: норму заощаджень s (0.05–0.70), амортизацію δ (0.01–0.20), технологічне зростання g (0–0.10), зростання населення n (0–0.05) та частку капіталу α (0.20–0.60). Кнопкою Пауза/Грати зупиняйте анімацію, Скинути — почати знову з низького капіталу, а Фазова діаграма — перемкнути праву панель. Живі показники відображають k*, y* та норму заощаджень за золотим правилом.
Норма заощаджень за золотим правилом, що максимізує споживання у стаціонарному стані, дорівнює частці капіталу α. Оскільки реальні економіки зазвичай заощаджують менше за α, більшість із них «динамічно ефективні» — більші заощадження підвищили б довгострокове споживання, і цей результат допомогла формалізувати праця Роберта Солоу 1956 року.
Це неокласична модель довгострокового економічного зростання, опублікована Робертом Солоу та Тревором Сваном у 1956 році. Випуск виробляється з капіталу та ефективної праці через функцію Кобба-Дугласа, Y=K^α(AL)^(1−α). Модель пояснює, як економіка збігається до стабільного стаціонарного стану та чому стале зростання на душу населення зрештою потребує саме технологічного прогресу, а не лише заощаджень.
На кожному кадрі вона інтегрує dk̃/dt = s·k̃^α − (δ+g+n)·k̃ методом явного Ейлера з кроком dt=0.5 року. Стаціонарний стан знаходиться аналітично як k* = [s/(δ+g+n)]^(1/(1−α)), що показано пунктирною лінією на графіку часових рядів та точкою перетину на фазовій діаграмі. Симуляція починається з низького капіталу й анімує наближення до k*.
Норма заощаджень s задає частку випуску, що інвестується; амортизація δ — швидкість зношення капіталу; технологічне зростання g та зростання населення n разом з δ утворюють ставку беззбитковості (δ+g+n), яку капітал має відновлювати; а частка капіталу α — це показник степеня у виробничій функції. Підвищення s збільшує k* та y*, тоді як підвищення δ, g, n чи зменшення α зменшує k*.
Рівняння є стандартними підручниковими рівняннями Солоу-Свана, а формули стаціонарного стану й золотого правила точні. Спрощення навмисні: використано єдиний сектор Кобба-Дугласа, параметри вважаються сталими, застосовано грубий інтегратор Ейлера задля швидкості й роботу ведеться в одиницях на одного ефективного працівника. Вона достовірно відображає якісну динаміку й порівняльну статику, а не підганяє дані якоїсь конкретної країни.
Вища норма заощаджень піднімає стаціонарний рівень капіталу та випуску на працівника, даючи тимчасовий сплеск пришвидшеного зростання під час переходу. Щойно досягнуто нового k*, зростання випуску на працівника повертається до темпу технологічного прогресу g. Це центральний урок моделі: накопичення капіталу має спадну віддачу, тож лише технології забезпечують стале довгострокове зростання рівня життя.