Мильна плівка, натягнута на замкнену дротяну петлю, стягується у форму найменшої можливої площі. Поверхневий натяг діє однаково всюди, тож плівка зупиняється там, де її вже не стягнути тугіше — це мінімальна поверхня.

Задача Плато

Для заданої замкненої межі (дроту) знайти поверхню найменшої площі, що її натягує. Це задача Плато, названа на честь фізика XIX століття Жозефа Плато, який вивчав мильні плівки експериментально. Справжні плівки розв'язують її миттєво.

Нульова середня кривина

Мінімальна поверхня має середню кривину H = 0 у кожній внутрішній точці: де поверхня вигинається вгору в одному напрямку, там вона вигинається вниз так само в перпендикулярному — як сідло. Дві головні кривини взаємно компенсуються.

Рівняння Лапласа та межа малих нахилів

Для пологих нахилів поле висот h(x,y) мінімальної поверхні задовольняє рівняння Лапласа ∇²h = ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y² = 0. Дискретна версія каже, що кожна внутрішня висота дорівнює середньому своїх чотирьох сусідів:

h[i,j] = (h[i−1,j] + h[i+1,j] + h[i,j−1] + h[i,j+1]) / 4

Ми фіксуємо висоти межі за дротом і знову й знову проходимо цим правилом по внутрішніх точках (релаксація Якобі / Гаусса-Зейделя). Нев'язка — найбільша зміна в будь-якій комірці — спадає до нуля, поки поле збігається до гармонічного розв'язку. Симуляція зупиняється, щойно нев'язка падає нижче малого епсилона або сягає межі ітерацій.

Мильні плівки як аналогові обчислювачі

Оскільки плівка миттєво набуває гармонічної / мінімальної форми, фізики колись використовували мильні плівки й натягнуті мембрани як аналогові обчислювачі для розв'язання рівнянь Лапласа й Пуассона — для кручення балок, електростатичних потенціалів і теплопровідності — задовго до цифрових машин.

Пресети для спроби

• Сідло — два протилежні кути високі, два низькі. Плівка стає гіперболічним параболоїдом, класичним виглядом мінімальної поверхні.
• Нахилений квадрат — плоска рамка, піднята вздовж однієї сторони.
• Горб / Защемлення — локальний горб, вписаний у рамку.
• Катеноїд 1D — переріз, у якого кінці закріплені; він релаксує до профілю, схожого на ланцюгову лінію мильної плівки між двома кільцями.