Числова симуляція рівняння Шредінгера: хвильові пакети проходять крізь потенційні бар'єри, демонструючи квантове тунелювання та інтерференцію — без будь-якої класичної аналогії.
Хвильовий пакет рухається у потенційному ландшафті U(x). При потраплянні на бар'єр частина хвилі відбивається, частина тунелює крізь нього (навіть якщо класично — неможливо). Це принципово квантовий ефект.
Клацайте, щоб встановлювати потенційні бар'єри різної ширини і висоти. Запускайте хвильовий пакет і спостерігайте за тунелюванням та відбиттям. Змінюйте початкову кінетичну енергію для меншого чи більшого тунелювання.
Квантове тунелювання реальне і використовується у флеш-пам'яті (NAND Flash): електрони тунелюють крізь тонкий шар оксиду для запису «1» або «0». Кожна флешка у вашому телефоні покладається на цей «неможливий» ефект.
Ця симуляція розв'язує нестаціонарне рівняння Шредінгера, iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ, на лінії з 1200 точок у природних одиницях (ℏ = m = 1). Гаусів хвильовий пакет запускається в один із шести доступних потенціалів і просувається малими явними кроками за часом, тож ви спостерігаєте, як комплексна хвильова функція поширюється, розпливається, відбивається й тунелює. Заштрихована крива — це густина ймовірності |ψ|², єдине, що насправді можна виміряти в експерименті.
Нормований гаусів хвильовий пакет, що еволюціонує за одновимірним нестаціонарним рівнянням Шредінгера. Лапласіан наближається тришаровою скінченною різницею та інтегрується вперед у часі (явна схема FTCS з малим dt), що дозволяє побачити інтерференцію, відбиття й тунелювання крізь бар'єр для ям, бар'єрів, гармонічної пастки, подвійної ями та потенціальної сходинки.
Виберіть потенціал зі списку, потім натисніть «↺ Хвильовий пакет», щоб перезапустити. Повзунок k₀ задає початковий імпульс пакета (швидкість і напрямок), σ задає його просторову ширину, а Потенціал задає висоту бар'єра чи ями. Перемикайте Re(ψ), Im(ψ) та |ψ|², щоб переглянути дійсну частину, уявну частину чи густину ймовірності.
Частинка може пройти крізь бар'єр, вищий за її власну енергію, — це квантове тунелювання. Імовірність спадає експоненційно зі зростанням ширини й висоти бар'єра, і саме тому скануючі тунельні мікроскопи можуть розрізняти окремі атоми за крихітними змінами зазору між вістрям і поверхнею.
Це фундаментальне рівняння квантової механіки, яке описує, як хвильова функція ψ частинки змінюється з часом. Нестаціонарна форма, показана тут, iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ, відіграє для квантових систем ту саму роль, що й закони Ньютона для класичних. Її розв'язки є комплекснозначними, а вимірюваною величиною є густина ймовірності |ψ|².
Вона працює на фіксованій сітці з 1200 точок в одиницях, де ℏ = m = 1. Просторова друга похідна замінюється тришаровим скінченнорізницевим лапласіаном, а хвильова функція просувається вперед у часі малим явним (FTCS) оновленням дійсної та уявної частин. Між кожним кадром виконується кілька підкроків, щоб анімація залишалася плавною.
k₀ задає центральне хвильове число початкового гаусового пакета, яке визначає його імпульс, а отже, наскільки швидко й у якому напрямку він рухається. σ задає ширину пакета: вузький пакет (мале σ) має чітко визначене положення, але широкий розкид імпульсів, тож він швидко розпливається, прямо ілюструючи принцип невизначеності Гайзенберга.
Якісно — так. Коли пакет натрапляє на бар'єр, вищий за його енергію, частина відбивається, а менша частина з'являється з іншого боку, точно як передбачає реальне тунелювання. Модель є спрощеним одновимірним розв'язувачем на фіксованій сітці, тож абсолютні енергії й точні коефіцієнти проходження є радше ілюстративними, ніж лабораторно точними, але поведінка й тенденції правильні.
Сама хвильова функція є комплексною і не може спостерігатися безпосередньо. Правило Борна стверджує, що |ψ|² дає ймовірність знайти частинку в кожному положенні, а хвильова функція нормована так, щоб цей інтеграл дорівнював одиниці. Дійсна та уявна частини кодують фазу, яка зумовлює інтерференцію, але будь-який вимірюваний результат зрештою випливає з |ψ|².